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16.出售金鱼(2005-09-10 15:09:00)
摘要：16.出售金鱼
买卖提将养的一缸金鱼分五次出售系统上一次卖出全部的一半加二分之一条；第二次卖出余下的三分之一加三分之一条；第三次卖出余下的四分之一加四分之一条；第四次卖出余下的五分之一加五分之一条；最后卖出余下的11条。问原来的鱼缸中共有几条金鱼？
*题目分析与算法设计
题目中所有的鱼是分五次出售的，每次卖出的策略相同；第j次卖剩下的(j+1)分之一再加1/(j+1)条。第五次将第四次余下的11条全卖了。
假定第j次鱼的总数为X，则第j次留下：
x-(x+1)/(j+1)
当第四次出售完毕时，应该剩下11条。若X满足上述要求，则X就是题目的解。
应当注意的是："(x+1)/(j+1)"应满足整除条件。试探X的初值可以从23开始，试探的步长为2，因为X的值一定为奇数。
*程序说明与注释
#include<stdio.h>
void main()
{
int i,j,n=0,x; /*n为标志变量*/
for(i=23;n==0;i+=2) /*控制试探的步长和过程*/
{
for(j=1,x=i;j<=4&&x>=11;j++) /*完成出售四次的操作*/
if((x+1)%(j+1)==0) /*若满足整除条件则进行实际的出售操作*/
x-=(x+1)/(j+1);
else {x=0;break;} /*否则停止计算过程*/
if(j==5&&x==11) /*若第四次余下11条则满足题意*/
{
printf("There are %d fishes at first.\n",i); /*输出结果*/
n=1; /*控制退出试探过程*/
}
}
}
*运行结果
There are 59 fishes at first.
*思考题
日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1......
15.捕鱼和分鱼(2005-09-10 15:09:00)
摘要：15.捕鱼和分鱼
A、B、C、D、E五个人在某天夜里合伙去捕鱼，到第二天凌晨时都疲惫不堪，于是各自找地方睡觉。日上三杆，A第一个醒来，他将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，拿走自己的一份。B第二个醒来，也将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，保持走自己的一份。C、D、E依次醒来，也按同样的方法拿走鱼。问他们合伙至少捕了多少条鱼？
*问题分析与算法设计
根据题意，总计将所有的鱼进行了五次平均分配，每次分配时的策略是相同的，即扔掉一条鱼后剩下的鱼正好分成五份，然后拿走自己的一份，余下其它的四份。
假定鱼的总数为X，则X可以按照题目的要求进行五次分配：X-1后可被5整除，余下的鱼为4*(X-1)、5。若X满足上述要求，则X就是题目的解。
*程序与程序注释
#include<stdio.h>
void main()
{
int n,i,x,flag=1; /*flag：控制标记*/
for(n=6;flag;n++) /*采用试探的方法。令试探值n逐步加大*/
{
for(x=n,i=1&&flag;i<=5;i++)
if((x-1)%5==0) x=4*(x-1)/5;
else flag=0; /*若不能分配则置标记falg=0退出分配过程*/
if(flag) break; /*若分配过程正常结束则找到结果退出试探的过程*/
else flag=1; /*否则继续试探下一个数*/
}
printf("Total number of fish catched=%d\n",n); /*输出结果*/
}
*运行结果
Total number of fish catched = 3121
*问题的进一步讨论
程序采用试探法，试探的初值为6，每次试探的步长为1。这是过分保守的做法。可以在进一步分析题目的基础上修改此值，增大试探的步长值，以减少试探次数。
*思考题
请使用其它的方法求解本题。
......
14.怎样存钱利最大(2005-09-10 15:09:00)
摘要：14.怎样存钱利最大
假设银行整存整取存款不同期限的月息利率分别为：
0.63% 期限=1年
0.66% 期限=2年
0.69% 期限=3年
0.75% 期限=5年
0.84% 期限=8年
利息=本金*月息利率*12*存款年限。
现在某人手中有2000元钱，请通过计算选择一种存钱方案，使得钱存入银行20年后得到的利息最多(假定银行对超过存款期限的那一部分时间不付利息)。
*问题分析与算法
为了得到最多的利息，存入银行的钱应在到期时马上取出来，然后立刻将原来的本金和利息加起来再作为新的本金存入银行，这样不断地滚动直到满20年为止，由于存款的利率不同，所以不同的存款方法(年限)存20年得到的利息是不一样的。
分析题意，设2000元存20年，其中1年存i1次，2年存i2次，3年存i3次，5年存i5次，8年存i8次，则到期时存款人应得到的本利合计为：
2000*(1+rate1)i1*(1+rate2)i2*(1+rate3)i3*(1+rate5)i5*(1+rate8)i8
其中rateN为对应存款年限的利率。根据题意还可得到以下限制条件：
0<=i8<=2
0<=i5<=(20-8*i8)/5
0<=i3<=(20-8*i8-5*i5)/3
0<=i2<=(20-8*i8-5*i5-3*i3)/2
0<=i1=20-8*i8-5*i5-3*i3-2*i2
可以用穷举法穷举所有的i8、i5、i3、i2和i1的组合，代入求本利的公式计算出最大值，就是最佳存款方案。
*程序与程序注释
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int i8,i5,i3,i2,i1,n8,n5,n3,n2,n1;
float max=0,term;
for(i8=0;i8<3;i8++) /*穷举所有可能的存款方式*/
for(i5=0;i5<=(20-8*i8)/5;i5++)
for(i3=0;i3<=(20-8......
13.该存多少钱(2005-09-10 15:09:00)
摘要：13.该存多少钱
假设银行一年整存零取的月息为0.63%。现在某人手中有一笔钱，他打算在今后的五年中的年底取出1000元，到第五年时刚好取完，请算出他存钱时应存入多少。
*问题分析与算法设计
分析存钱和取钱的过程，可以采用倒推的方法。若第五年年底连本带息要取1000元，则要先求出第五年年初银行存款的钱数：
第五年初存款=1000/(1+12*0.0063)
依次类推可以求出第四年、第三年......的年初银行存款的钱数：
第四年年初存款=(第五年年初存款+1000)/(1+12*0.0063)
第三年年初存款=(第四年年初存款+1000)/(1+12*0.0063)
第二年年初存款=(第三年年初存款+1000)/(1+12*0.0063)
第一年年初存款=(第二年年初存款+1000)/(1+12*0.0063)
通过以上过程就可以很容易地求出第一年年初要存入多少钱。
*程序与程序注释
#include<stdio.h>
void main()
{
int i;
float total=0;
for(i=0;i<5;i++) /*i 为年数，取值为0~4年*/
total=(total+1000)/(1+0.0063*12); /*累计算出年初存款数额，第五次的计算
结果即为题解*/
printf("He must save %.2f at first.\n",total);
}
*运行结果
He must save 4039.44 at first
......
12.抓交通肇事犯(2005-09-10 15:09:00)
摘要：12.抓交通肇事犯
一辆卡车违反交通规则，撞人后逃跑。现场有三人目击事件，但都没有记住车号，只记下车号的一些特征。甲说：牌照的前两位数字是相同的；乙说：牌照的后两位数字是相同的，但与前两位不同； 丙是数学家，他说：四位的车号刚好是一个整数的平方。请根据以上线索求出车号。
*问题分析与算法设计
按照题目的要求造出一个前两位数相同、后两位数相同且相互间又不同的整数，然后判断该整数是否是另一个整数的平方。
*程序与程序注释
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int i,j,k,c;
for(i=1;i<=9;i++) /*i:车号前二位的取值*/
for(j=0;j<=9;j++) /*j:车号后二位的取值*/
if(i!=j) /*判断二位数字是否相异*/
{
k=i*1000+i*100+j*10+j; /*计算出可能的整数*/
for(c=31;c*c<k;c++); /*判断该数是否为另一整数的平方*/
if(c*c==k) printf("Lorry--No. is %d.\n",k); /*若是，打印结果*/
}
}
*运行结果
Lorry _No.is 7744
......
11.打鱼还是晒网(2005-09-10 15:09:00)
摘要：11.打鱼还是晒网
中国有句俗语叫“三天打鱼两天晒网”。某人从1990年1月1日起开始“三天打鱼两天晒网”，问这个人在以后的某一天中是“打鱼”还是“晒网”。
*问题分析与算法设计
根据题意可以将解题过程分为三步：
1)计算从1990年1月1日开始至指定日期共有多少天；
2)由于“打鱼”和“晒网”的周期为5天，所以将计算出的天数用5去除；
3)根据余数判断他是在“打鱼”还是在“晒网”；
若 余数为1，2，3，则他是在“打鱼”
否则 是在“晒网”
在这三步中，关键是第一步。求从1990年1月1日至指定日期有多少天，要判断经历年份中是否有闰年，二月为29天，平年为28天。闰年的方法可以用伪语句描述如下：
如果 ((年能被4除尽 且 不能被100除尽)或 能被400除尽)
则 该年是闰年；
否则 不是闰年。
C语言中判断能否整除可以使用求余运算(即求模)
*程序与程序注释
#include<stdio.h>
int days(struct date day);
struct date{
int year;
int month;
int day;
};
void main()
{
struct date today,term;
int yearday,year,day;
printf("Enter year/month/day:");
scanf("%d%d%d",&today.year,&today.month,&today.day); /*输入日期*/
term.month=12; /*设置变量的初始值：月*/
term.day=31; /*设置变量的初始值：日*/
for(yearday=0,year=1990;year<today.year;year++)
{
term.year=year;
yearday+=days(term); /*计算从1990年至指定年的前一年共有多少天*/
}
yearday......
10.数制转换(2005-09-10 15:10:00)
摘要：10.数制转换
将任一整数转换为二进制形式
*问题分析与算法设计
将十进制整数转换为二进制的方法很多，这里介绍的实现方法利用了C语言能够对位进行操作的特点。对于C语言来说，一个整数在计算机内就是以二进制的形式存储的，所以没有必要再将一个整数经过一系列的运算转换为二进制形式，只要将整数在内存中的二进制表示输出即可。
*程序说明与注释
#include<stdio.h>
void printb(int,int);
void main()
{
int x;printf("Input number:");
scanf("%d",&x);
printf("number of decimal form:%d\n",x);
printf(" it's binary form:");
printb(x,sizeof(int)*8); /*x:整数 sizeof(int):int型在内存中所占的字节数
sizeof(int)*8:int型对应的位数*/
putchar('\n');
}
void printb(int x,int n)
{
if(n>0)
{
putchar('0'+((unsigned)(x&(1<<(n-1)))>>(n-1))); /*输出第n位*/
printb(x,n-1); /*归调用，输出x的后n-1位*/
}
}
*运行结果
输入：8
输出：
number of decimal form:8
it's bunary form:0000000000001000
输入：-8
输出：number of decimal form:-8
it's binary form:1111111111111000
输入：32767
输出：number of decimal form:32767
it's binary form:011111111111......
9.杨辉三角形(2005-09-10 15:10:00)
摘要：9.杨辉三角形
在屏幕上显示杨辉三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
......................................
*问题分析与算法设计
杨辉三角形中的数，正是(x+y)的N次方幂展开式各项的系数。本题作为程序设计中具有代表性的题目，求解的方法很多，这里仅给出一种。
从杨辉三角形的特点出发，可以总结出：
1)第N行有N+1个值(设起始行为第0行)
2)对于第N行的第J个值：(N>=2)
当J=1或J=N+1时：其值为1
J!=1且J!=N+1时：其值为第N-1行的第J-1个值与第N-1行第J个值
之和
将这些特点提炼成数学公式可表示为：
1 x=1或x=N+1
c(x,y)=
c(x-1,y-1)+c(x-1,y) 其它
本程序应是根据以上递归的数学表达式编制的。
*程序说明与注释
#include<stdio.h>
void main()
{
int i,j,n=13;
printf("N=");
while(n>12)
scanf("%d",&n); /*控制输入正确的值以保证屏幕显示的图形正确*/
for(i=0;i<=n;i++) /*控制输出N行*/
{
for(j-0;j<24-2*i;j++) printf(" "); /*控制输出第i行前面的空格*/
for(j=1;j<i+2;j++) printf("%4d",c(i,j)); /*输出第i行的第j个值*/
printf("\n");
}
}
void int c(int x,int y) /*求杨辉三角形中第x行第y列的值*/
{
int z;
if((y==1)||(y==x+1)) return 1;......
8.借书方案知多少(2005-09-10 15:10:00)
摘要：8.借书方案知多少
小明有五本新书，要借给A，B，C三位小朋友，若每人每次只能借一本，则可以有多少种不同的借法？
*问题分析与算法设计
本问题实际上是一个排列问题，即求从5个中取3个进行排列的方法的总数。首先对五本书从1至5进行编号，然后使用穷举的方法。假设三个人分别借这五本书中的一本，当三个人所借的书的编号都不相同时，就是满足题意的一种借阅方法。
*程序说明与注释
void main()
{
int a,b,c,count=0;
printf("There are diffrent methods for XM to distribute books to 3 readers:\n");
for(a=1;a<=5;a++) /*穷举第一个人借5本书中的1本的全部情况*/
for(b=1;b<=5;b++) /*穷举第二个人借5本书中的一本的全部情况*/
for(c=1;a!=b&&c<=5;c++) /*当前两个人借不同的书时，穷举第三个人借5本书
中的1本的全部情况*/
if(c!=a&&c!=b) /*判断第三人与前两个人借的书是否不同*/
printf(count%8?"%2d:%d,%d,%d ":"%2d:%d,%d,%d\n ",++count,a,b,c);
/*打印可能的借阅方法*/
}
*运行结果
There are diffrent methods for XM to distribute books to 3 readers:
1: 1,2,3 2: 1,2,4 3: 1,2,5 4: 1,3,2 5: 1,3,4
6: 1,3,5 7: 1,4,2 8: 1,4,3 9: 1,4,5 10:1,5,2
11:1,5,3 12:1,5,4 13:2,1,3 14:2,1,4 15:2,1,5
16:2,3,1 17:2,3,4 18:2,3,5 19:2,4,1 20:2,4,3
21:2,4,5 22:2,5,1 23:2,5,3 24:2,5,4 2......
6.高次方数的尾数(2005-09-10 15:10:00)
摘要：6.高次方数的尾数
求13的13次方的最后三位数
*问题分析与算法设计
解本题最直接的方法是：将13累乘13次方截取最后三位即可。
但是由于计算机所能表示的整数范围有限，用这种“正确”的算法不可能得到正确的结果。事实上，题目仅要求最后三位的值，完全没有必要求13的13次方的完整结果。
研究乘法的规律发现：乘积的最后三位的值只与乘数和被乘数的后三位有关，与乘数和被乘数的高位无关。利用这一规律，可以大大简化程序。
*程序说明与注释
#include<stdio.h>
void main()
{
int i,x,y,last=1; /*变量last保存求X的Y次方过程中的部分乘积的后三位*/
printf("Input X and Y(X**Y):");
scanf("%d**%d",&x,&y);
for(i=1;i<=y;i++) /*X自乘Y次*/
last=last*x%1000; /*将last乘X后对1000取模，即求积的后三位*/
printf("The last 3 digits of %d**%d is:%d\n",x,y,last%1000); /*打印结果*/
}
*运行结果
Input X and Y(X**Y):13**13
The last 3 digits of 13**13 is:253
Input X and Y(X**Y):13**20
The last 3 digits of 13**20 is:801
......