一，向量空间（又称为线性空间）

满足向量空间8个基本条件的空间叫做向量空间（8个条件都写下来很费时，在下就偷偷懒了。矩阵分析教材里应该都有），又称为线性空间。注意，向量空间的元素不一定就是值为固定的一个向量，它也可以是定义在某一个区间上的函数，或者更宽泛的说，满足加减和数乘算法的映射关系也可以是向量空间的元素。

与向量空间相关的几个概念。

线性组合:有一组元素，不同的元素各乘以一个系数（实数，没记错的话，不能是复数），之后再相加，这种形式即为该元素组的一个线性组合。

独立性:有一组元素，若其线性组合为零可以推得各个元素前的系数均为零，那么这组元素是独立的。

Span:假设S是R的子集，而R的所有元素都可表示为S元素的线性组合，则我们称R是S的span。

基:集合X的一个子集S，S的元素是独立的，且S是X的span，我们说S是X的基。换句话说，X的基就是可以表示X的每一个元素并且本身具有独立性的一组向量（元素）。

n维向量空间:集合X内存在n个独立的元素，且任意的(n+1)个元素都不是独立的，则X为n维向量空间。集合X的维数即其最大的独立元素数。

二，度量空间(metric space)

对于集合X内的任意两个元素，都有一个与其相关的实数，且该实数满足了一些性质（此处跳过，呵呵），那么X称为度量空间。

开集:集合E属于度量空间X，称其为开集，若其对每一个元素e，都可以找到一个邻域，使得邻域内所有元素都属于E。

闭集:补集为开集的集合为闭集。

有界集:度量空间内集合E内的每两个点之间的距离都小于某一个值。

dense的概念:度量空间内集合E，其两个子集S，T，且S属于T,若对于T内的任意一个元素t,S内都有元素s可任意接近于（距离小）t,则称S在T内是dense的。

连续的概念:两个度量空间X,Y,f为从X到Y的一个函数，运用X和Y各自的距离定义，套用微积分中的连续概念可以很自然的引出更广泛的连续概念。

一致连续:注意一致连续和连续的区别，前者可推出后者，反之则不然。一致连续的特点在于，对于任意小的正实数e，存在一个固定(注意这里是固定的，连续是做不到这一点的)的对应正实数fi(e),使得当集合内任意两个元素距离小于fi(e)时，其对应函数的距离小于e。

收敛的概念:略

compact的概念:度量空间X的子集E称为compact的，如果E内的每一个序列内都存在一个子序列收敛于E内的一个点。特殊的，n维欧式空间的compact子集必为有界的并且为闭集。

Cauchy序列:一个学列xi，如果给定正实数e，总存在整数n，使得p,q大于n时，xp和xq的距离小于e，则称该序列为Cauchy序列。注意，收敛序列是Cauchy序列，反之则不然。

完备度量空间:若度量空间内每一个Cauchy系列都是收敛序列，则该空间为完备度量空间。

三，范数向量空间

以x-y的范数定义距离的度量空间X称为范数向量空间（范数定义详见各类参考书）。

Banach空间:完备的范数向量空间称为Banach空间。

内积空间:有内积定义的向量空间

施瓦茨不等式:内积空间内，|<x,y>|<=<x,x>*<y,y>对于任意两个元素x,y成立，当且仅当这两个元素独立。

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