在自然数里，到底有多少完全数呢?有人作过统计：
6=1＋2＋3,
28=1＋2＋4＋7＋14,
496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248,
8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064.
看来，完全数不多，已初步看到，前八千多个正整数才4个!物以稀为贵，完全数稀罕.在1到40000000这么多数里，只有七个完全数，它们是:6，28，496，8128，130816，2096128，33550336.可见完全数是非常稀少的.
从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过一千多年，这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍.这可能是历经一千多年才艰难跨出一步的原因.用完满来形容6，28，496，…这一类数很恰当.这种数一方面表现在它稀罕、奇妙，一方面表现在它的完满，各因数的和不多不少等于它自己.完全数还有一些令人感到神奇的鲜为人知的有趣事实，π数值取小数点后面3位相加恰是第一个完全数6(=1＋4＋1)，小数点后7位相加正好等于第2个完全数 28(= 1＋4＋1＋5＋9＋2
＋6).居然能有如此的联系，难道不足以令人惊讶吗?具体地说，完全数还具有以下的有趣事实：
(1)所有已知的完全数，除6以外，其数字和均为1.也就是说，它们的数字反复相加的最终结果等于1.
例如: 496
4＋9＋6=19,1＋9=10,1＋0=1.
(2)所以完全数都可以表示为2的一些连续整数次幂之和，如:
6=21＋22，
28=22＋23＋24,
496=24＋25＋26＋27＋28,
8128=26＋27＋28＋…＋212，
33550336=212＋213＋214＋…＋224.
(3)除了6以外，其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和，如：
28=13＋33，
496=13＋33＋53＋73,
8128=13＋33＋53＋…＋153，
33550336=13＋33＋53＋…＋1253＋…＋1273.
如此完美的模式，难怪完全数如此的迷人，具有魅力，因此，完全数是极美的数.
(4)迄今为止，发现的完全数都是偶数，还没有发现一个奇完全数，但也没有证明奇完全数不存在.
(5)迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：
N=2n－1(2n－1)(其中n与2n－1都是素数).
事实上，在欧几里得《几何原本》卷九中的最后一个定理，就是关于完全数的，它陈述如下：
“如果2n－1是一个素数，则2n－1(2n－1)是一个完全数.”
对于n=2，我们得到完全数6.对于n=4，由于24－1不是素数，所以结果不会产生一个完全数，对完全数的探索，古往今来始终困扰着数学家.
直到现在还没有人发现一个完全数，也没有一个人能够证明奇完全数不存在(这是数论中著名的未解决的问题之一.)人们认为欧几里得定理的逆命题(“每个完全数有2n－1(2n－1)的形式，这里2n－1是一个素数”)可能成立，但至今没有人能够证明.瑞士数学家欧拉(Leonard Euler , 1707－1783)证明了所有偶完全数都应当有这样的形式.对完全数的探索一直持续到今天.
今天，人们借助于计算机找到了当n=521,607,1279,2203,2281,3217,7090,4253,4423时相应的完全数.此外，n=9689,9941,11213,19937时也给出了完全数.你能想像这些完全数有多大.倒如，1963年，伊利诺斯大学发现了对于n=11213时的完全数，它包含6751个数字，有22425个因子.至1998年2月，人们知道的完全数共37个.最后一个完全数相应的n=3021377.
寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为止也还只发现了37个.为什么去寻找呢?是因为这种数在现实生活中有什么特别的用途吗?目前确实还没有发现，是它的奇异和美丽吸引了许多的人.完全数还有着许多其他的特殊性质，这里提到的只是其中那些历经漫漫岁月而人们兴趣依旧不衰的内容，这也正是我们论述它的最充分的理由.
［ 作者：佚名 转贴自：成都市三原外国语学校 点击数：244 更新时间：2005-1-19 文章录入：尽收眼底
已知自然数a和b，如果b能够整除a，就说b是a的一个因数，也称为约数。显然，任何自然数a，总有因数1和a。我们把小于a的因数叫做a的真因数。
例如6，12，14这三个数的所有真因数：
12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12
14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14
28=1+2+3+4+5+6+7,
496=1+2+3+4+……+31,
8128=1+2+3+4+……+127；
1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2
稀少而有趣的完美数
［ 作者：佚名 转贴自：成都市三原外国语学校 点击数：213 更新时间：2005-1-19 文章录入：尽收眼底 ］
在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。
当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”
中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。
根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π=
三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是π的不足近似值。
刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14这个数值叫做“徽率”。
到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算，达到了空前的高峰，他算出3.1415926＜π＜3.1415927。
在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。
“祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(Al——Kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值：约率是
在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。
π是一个什么样的数呢？
π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一个无理数。
法国数学家勒让德(Legendre，1752-1833)曾猜测说：“π不是有理系数方程的根”。后来，人们把有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。
在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如π和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。
e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873年，法国数学家埃尔米特(Hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难。他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882年，英国数学家林德曼(F.Lindemann，1852-1939)证明了π是超越的，从而解决了一些几何作图问题。 圆周率π趣闻
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