应用MATLAB的一个例子
——数学也是一门技术
王天顺 整理

本来想用 “数学也是一门技术”作题目，主要是基于两点，一是从数学的应用角度，它
的确具备了作为一门技术的特征，这也就是今天我要通过一个例子要表达的；二是咱们在
座的大多数都是从事职业教育的老师，不知道我理解得是不是正确，职业教育与普通教育
的区别是较为侧重于教授技术，我主观上感觉这个题目和大家的关系更紧密一些。但是，
这个题目有点太大了！和领导商量了一下还是换个题目吧。
首先可以证明：数学确是一门技术，比如说要从技术的定义入手，流行的做法是：查查《
辞海》，查查相关的如《科学学辞典》和《科技辞典》等等，看看他们是怎样给技术定义
的；其次，论述一下数学的确是符合这些定义的。
实际上，我也确实查阅过这些资料，可以说没有问题，一定可以找到证据证明这个论断！

注：“技术”一词的中文解释有两种，一种是以《辞海》为代表的解释，把技术定义为：
（1 ）泛指根据生产实践经验和自然科学原理而发展成的各种工艺操作方法与技能；（2
）除操作技能外， 广义的还包括相应的生产工具和其他物质设备，以及生产的工艺过程
或作业程序、方法。另一种是以《科学学辞典》和《科技辞典》为代表的解释，把技术定
义为：是为社会生产和人类物质文化生活需要服务的，供人类利用和改造自然的物质手段
、智能手段和信息手段的总和。
可见， “技术”一词所包含的内容除了有形的物化形态之外，还包括无形的智能形态方
面。无形的智能形态的技术是客观存在的，在某种意义上说，这方面技术的作用并不亚于
物化形态的技术，更不能为物化形态技术所取代（背景资料）。因此，有关“技术”的涵
义，有人概括为：指的是有形的物化技术和无形的智能技术的总和。
当然，容易想到我们把数学看作一门技术，可能更多的是从技术的无形“智能形态”角度
论述的。我想这只是他的一个方面，今天先给各位介绍的是一个例子，展现他的另一个方
面，用数学（包括相关的软件）去解决一个实际问题，其过程就像“传统的”、物化形态
的技术一样；其次，结合上述例子，探讨有关数学建模及相关培训指导工作的一般原则和
步骤，谈一点个人对此项工作的认识；最后，介绍我校的这些年数学建模培训工作的一些
具体做法。

一、 足球比赛中的吊门问题
1. 问题：只考虑如下的因素：球与球门的距离为a，守门员与球门的距离为b（假设在调
门过程中，守门员不能移动），球门高h，守门员最大摸高H，球出脚的初速度为 ，与水
平方向的夹角为 （称为初射角）．针对下列数据求能吊门成功的 ，h=2.44m，H=3.20m，
，重力加速度g=10m/s2，针对下列几组数据分别给出具体能吊门成功的相应初射角范围，
要求精度在小数点后第4位。
（1） a=6m，b=1m；
（2） a=10m，b=3m；
（3） a=20m，b=5m；
2. 问题分析
（1） 在不考虑空气阻力的情况下，抛射体的运动轨迹是抛物线：

想象一下，只要角度合适，一般情况下应该吊门成功，但是如何去找合适的范围呢？
（2） 这不同于找一个角度值（注，并不是归结为求一元二次方程的根！，因为这里是求
，而不是求x，所以是一般的非线性方成），而是一个范围！当然，也可把问题整理成两
个方程求根问题：一个方程是求吊门成功的最小角度，一个方程是球吊门成功的最大角度
（注意，有可能落地弹入球门，要考虑反弹入门的情况）。
（3） 有了使用方便的数学软件，可以先进行分析并将分析过程直观显示。
I. 对于第一组数据，吊门成功的最小角度1.53697（为弧度，下同），对应的时间大约在
4.9281秒，最大角度1.53787，对应的时间是5.0627秒，相比球与守门员及与球门的距离
，显然守门员有足够的时间移动，因此调门是不会成功的！这显然是因为，三者之间的距
离导致，要想吊门成功，就必须角度很大，运行时间很长！
v=30;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=6;b=1;
l=a-b;L=a*1.1;
x=0:0.01:L;
for alpha=1.5368:0.00001:1.538
[y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g);
tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause
end
II. 同上，对于第二组数据，吊门成功的最小角度1.51437，对应的时间大约在4.1374秒
，最大角度1.51587，对应的时间大约在4.2503秒。
v=30;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=10;b=3;
l=a-b;L=a*1.1;
x=0:0.01:L;
for alpha=1.5138:0.00001:1.5164
[y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g);
tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause
end
III. 对于第三组数据，吊门成功的最小角度1.45718，对应的时间大约在4.4103秒，最大
角度1.46022，对应的时间大约是4.531秒。
v=30;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;
l=a-b;L=a*1.1;
x=0:0.01:L;
for alpha=1.4566:0.00001:1.4605
[y,tfinal]=paosheti1(x,alpha,v,g);
tH=l/(v*cos(alpha));
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(tH)]),pause
end
IV. 其中用到的函数如下
function [y,t]=paosheti1(x,alpha,v,g)
y=x*tan(alpha)-x.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2);
t=2*v*sin(alpha)/g;
xmax=v*cos(alpha)*t;
n=length(x);
for i=1:n
if y(i)<0
xx=x(i)-xmax;
y(i)=xx*tan(alpha)-xx.^2*g/(2*v^2*(cos(alpha))^2);
end
end
3. 问题假设
（1） 不考虑空气阻力；要考虑！
（2） 不考虑守门员在球运行过程中的移动；考虑，这可能使这些假设中最易考虑的！
（3） 球落地是完全弹性的（解释与（5）不矛盾），只考虑仅有一次触地反弹的情况；

（4） 只考虑越过守门员头顶的吊门，即出球点与守门员连成一线延伸到球门这样一个直
线方向，不考虑从守门员侧面吊门的情况；
（5） 将球看作是数学上的一个点；
（6） 不考虑球的旋转，实际比赛时，旋转是很重要的！
（7） 球的质量为一个单位。
4. 问题求解
（1） 当水平路程达到球门时，只要竖直方向小于球门高度，列出相应的角度值满足的方
程，解之即可得到。下面的步骤就不细说了，是一个典型的非线性方程求根问题，但应该
指出，前面的分析过程也还是有一定的指导意义，如对根的初步位置（实际上可以得到相
当精度的根的位置）的判断；补充用牛顿迭代法求此根！
（2） 由于列方程求解通常也需要做近似计算（如开方等），得到的结果也是近似的！从
这个意义上说，前面用来分析的方法实际上也是一个好的求解方法。此时，取适当小的扫
描步长，可视精度要求而定，当然某些环节是用肉眼观察得到的。此处可取步长为0.0000
1或0.00002；
5. 结果分析
（1） 随着球与球门的距离，及守门员与球门的距离的变化，从第一组数据、到第二组、
到第三组，所求得的初射角的范围越来越大，这是合理的！
（2） 所的结果是在相当理想情况下得到的，如果将实际中守门员的移动因素考虑进去，
只能建议射门者尽可能接近于最小成功角度吊门！甚至简单的判断就可以看出，一个训练
有素的守门员，在4、5秒的时间里完全可以合理移动，将踢过来的球挡住，因次，上述理
想情况下得到的结论，实际上是不可能成立的！有些因素必须考虑进去，即应该修改假设
！
（3） 进一步研究的方向，是更一般化，就需要修改假设，哪一条也不容易！选一个较为
简单的，假设守门员可以移动。
（4）
6. 考虑有空气阻力的情况
（1） 假设只考虑x方向受空气阻力的影响，并假设空气阻力与速度成正比，比例系数为k
=0.4（实验验证，此系数越大，球飞行的时间越短，似乎越真实！放在后面分析问题时用
）。此时，x作为时间t的函数 满足二阶常微分方程初值问题：
， （1）
， （2）
问题（1）、（2）的解为

为简单起见，假设精度只要求到小数点后的第二位，这样角度步长只需要取到0.001。
（2） 针对第三组数据，计算的最小角度为1.268，守门员移动时间为2.7771秒，最大角
度1.28，时间2.9897秒。
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;
l=a-b;L=a*1.1;
for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps
Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.01:T;
[x,y]=paosheti2(t,alpha,v,k,g);
TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause
end

function [x,y]=paosheti2(t,alpha,v,k,g)
x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2;
n=length(t);
t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to ground
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=v*sin(alpha);
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
for i=1:n
if t(i)>t0
tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt^2/2;
end
end

（3） 结果有点问题，即反弹后的角度不应该是 了，前面的结果是错的！应该以落地时
的情况换算出反射角。应该修改抛射体函数：paosheti2(t,alpha,v,k)，换成paosheti22
(t,alpha,v,k)。针对第三组数据，计算的最小角度为1.268，守门员移动时间为2.7771秒
，最大角度是1.27，时间是2.8101秒。
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;
l=a-b;L=a*1.1;
for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps
Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.01:T;
[x,y]=paosheti22(t,alpha,v,k,g);
TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause
end


function [x,y]=paosheti22(t,alpha,v,k,g)
x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=v*sin(alpha)*t-g*t.^2/2;
n=length(t);
t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to ground
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=v*sin(alpha);
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(vyt0/vxt0);
for i=1:n
if t(i)>t0
tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt^2/2;
end
end
y方向也应该考虑空气阻力的影响，因为，反弹的高度依然是上一个波段的高度，这不对
！而且，看上去应该考虑有多次反弹的情况！问题是到底该先考虑守门员的移动还是这两
个问题！
（4） 假设x，y两个方向均受空气阻力的影响，此时，如同（3）， 仍然满足问题（1）
和（2），函数 应满足二阶常微分方程初值问题：
（3）
， （4）
其中，m=1。易得问题（3）、（4）的解为

程序如下
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b=5;
l=a-b;L=a*1.1;
for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps
Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.01:T;
[x,y]=paosheti3(t,alpha,v,k,g);
TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)))/k;
plot(l,H,'r+',a,h,'r+'),hold on,
plot(x,y),grid,
hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause
end

function [x,y]=paosheti3(t,alpha,v,k,g)
x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t))/k-g*t/k;
n=length(t);
t00=2.;
tt0(1)=t00;
tb=1;
ii=1;
while(abs(tb)>1e-5)

tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,
g);
tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);
ii=ii+1;
if(ii>20)error('numb. of iter. is 30 times');
end
end
t0=tt0(ii);
y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0))/k-g*t0/k;
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k;
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0));
%alpha
for i=1:n
if t(i)>t0%
tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt))/k-g*tt/k;
end
end
针对第三组数据，计算的最小角度为1.239，守门员移动时间为2.3797秒，最大角度是1.2
48，时间是2.4889秒。
（5） 考虑守门员可以移动的情况，假设守门员倒着移动的速度是
守门员到球门的距离是时间的函数 。
v=30;k=0.4;g=10;
h=2.44;H=3.2;
a=20;b0=5;u0=2;
l0=a-b0;L=a*1.1;
for alpha=1.25:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps
Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)))/k;
T=Th*1.2;
t=0:0.1:T;
[x,y]=paosheti4(t,alpha,v,k,g);
nn=length(t);
for j=1:nn
xx=x(1:j);
yy=y(1:j);
ll0=l0+u0*t(j);
if ll0>a
l(j)=a;
else
l(j)=ll0;
end
TH=-log(1-l(j)*k/(v*cos(alpha)))/k;
%plot(),
plot(xx,yy,'bo',l(j),H,'r+',a,h,'ro'),grid,pause
end
%hold off
title(['足球比赛中的吊门 ','初射角=',num2str(alpha,6) ,...
' 守门员的移动时间=',num2str(TH)]),pause
end

function [x,y]=paosheti4(t,alpha,v,k,g)
x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t))/k;
y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t))/k-g*t/k;
n=length(t);
%t00=2*v*sin(alpha)/g%the time when the ball down to ground,here we should
solve
%a nonlinear eq. i.e.y=0
%t0=fsolve(@paoshetiy,t00)%参数传递有问题，如，alpha是不断变化的如何传递？
%有一个办法：就是在这个地方现编一段程序，求方程的根！
t00=2.;
tt0(1)=t00;
tb=1;
ii=1;
while(abs(tb)>1e-5)

tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,
g);
tb=tt0(ii+1)-tt0(ii);
ii=ii+1;
if(ii>20)error('numb. of iter. is 30 times');
end
end
ii;
t0=tt0(ii);
y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0))/k-g*t0/k;
xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0))/k;
vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0);
vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k;
vt0=sqrt(vxt0^2+vyt0^2);
alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0));
%alpha
for i=1:n
if t(i)>t0%现在的问题是这个条件一直不满足！从tt0=3后的语句就没用!
tt=t(i)-t0;
x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt))/k;
y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt))/k-g*tt/k;
end
end

针对第三组数据，且守门员移动速度为 ，计算的能使球进入球门的最小角度为1.239，球
运行的时间为4.2682秒，能使球进入球门的最大角度是1.248，球运行时间是4.5914秒（
但，此时守门员已回来了）。相当于验证了，（守门员可以移动时）前面的分析的结果是
否能成立（即吊门成功）。不难看出，如果攻门一方球一出脚，守门员就向球门方向移动
的话，吊门是不可能成功的，除非守门员移动的速度很慢，如， 。
当然，实际比赛中，守门员的移动并不是对方球一出脚就开始的，而是有一个判断、反应
的滞后时间！也就是说，即使守门员移动的快一些，还是有可能吊门成功的！这一点本方
法没有考虑！


（6）
7.
8.
9. 问题的研究过程分析
该问题与一般的高等数学教科书上的应用题不同：
（1） 条件给的较为模糊，需要自己分析使之明确化，有些条件要有初步的中间结果后才
能较为明确；
（2） 有些因素要通过假设强行使之简化、理想化，如此才能或更便于求解；
（3） 整个过程，边想边试边出结果，类似一种实验，称为数学实验；
二、 关于数学建模教学
1. 所谓数学建模，就是设计数学模型的过程。而数学模型是采用形式化语言近似表达现
象特征的一种数学结构。概括地说，数学建模教学主要包括3个方面：一是如何对实际问
题适当简化后寻找出主要变量及变量之间的关系(即模型)；二是如何利用数学工具处理这
个模型；三是对整个过程的回顾与反思(即归纳、总结)。
第一方面包括：(1)理解问题；(2)简化假设；(3)建立模型。第二方面包括：(4)求解模型
；(5)检验模型。
2. 这其中，我们应该明确几个问题：(1)数学建模的过程有一定的步骤，但并非所有的建
模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，不应拘泥于形式而应以
“问题解决”为主要目的。(2)实际上，分析解决实际问题的过程就是数学建模的过程。(
3)数学建模作为“问题解决”的一个过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系，给
学生再现了用数学知识解决一个实际问题的全过程，是一个对本科生来讲难得一遇的科研
实战训练，这对身处信息时代的学生今后的学习和工作是大有裨益的。

三、 关于数学建模竞赛培训（我们的做法及一点体会）
1. 注意培养“双向”翻译的能力，因为数学建模首先要用数学的语言把实际问题翻译、
表达成确切的数学问题。再通过数学处理，得到数学问题的解。最后还需要把数学问题的
解还原为实际问题的解（非数学语言表述出来），即，实际问题 数学问题，数学问题的
解 实际问题的解。这“双向”翻译的能力恰是应用数学的基本能力。
值得注意的是，遇到实际问题时，用什么方法通常是对问题的充分研究分析后的自然选择
，不要试图非要用上什么什么你认为很神奇的方法！
2. 培养学生具有一定的想象力、联想力、洞察力和创造能力，因为学生面对的建模是一
个没有现成答案、没有现成模式的问题，要靠充分发挥自己的创造性去解决。这就需要从
大量的文献资料中去摄取与所考虑问题关联的思想和方法，要从貌似不同的问题中窥视出
其本质的东西，即需要具有丰富的想象能力和联想能力，同时应具有把握问题内在本质的
能力，即洞察力。而数学建模的整个过程正是这些能力的综合体现。
3. 培养学生的自学能力和使用文献资料的能力，由于建模所需要的很多知识是学生原来
没有学过的，竞赛前并不明确该给学生培训那些知识，这些年我校学生参加竞赛的经历告
诉我们，培训中讲的大多数内容都与竞赛不直接相关，甚至是没有直接作用的（比如，向
各位介绍一下我们培训的基本内容）！只能在拿到题目后，通过参赛学生们不断的思考，
有了初步的进展后，再进一步自学，可以说是边学边用！！！这恰是对学生自学能力的培
养和考验。而在竞赛过程中，时间是非常有限的，要能从浩如烟海的资料中迅速找到和吸
取自己所需要的东西，并不断的学习一些新知识。这对学生的自学能力及使用资料的能力
的要求是很高的。当然，这也是学生在未来的学习和工作中所需要基本素质。
特别值得注意的是，注意合理、有效的利用网络获取相关资料！这一点，很多同学比老师
强！但专业资料的查询和检索还是老师强一些。
4. 计算机及相关软件应用能力，以计算机为工具来解决问题，在数学建模中是必不可少
的重要环节。这分几个方面，
其一，对复杂的实际问题，在建模之前往往需要先进行初步的计算、模拟、绘图等，通过
直观地考察，发现问题、分析问题、寻求问题求解的一些思路，这有助于判断并初步确定
模型。
其二，在初步确定数学模型后，模型求解离不开数学推理、计算、画图，通常都是借助于
相关的一些数学软件完成。
其三，最后论文的录入、编辑排版、打印都离不开计算机和软件。
数学建模竞赛，对使用计算机及其软件能力方面的要求是相当高的。我们学校参赛的经验
教训说明，能否获得奖励，主要取决于计算机及软件使用的熟练程度（这保证了你的想法
能否顺利实现，而参赛过的同学都有这样的感受：优秀论文中的很多思路当时我们也有过
，有的是没有坚持下去，有的是没有能或不敢进一步尝试！），而能否获得高等级奖励，
则要看参赛队的综合实力。（98年我们有两个队做“灾情巡视问题”，有一个队的学生的
编程能力超强，最后拿到了国家二等奖，2000年又拿到了国家一等奖。而另一个队，数学
知识掌握得很熟练，但没有用，得不到中间计算结果）。
我们的经验是，应该熟练掌握一个软件，比如，MATLAB，能起到事半功倍的效果。一个较
好的状态是，很多想法是在MATLAB上边想边试，真正把它作为一个工具，在此基础上，数
学就是一门技术。
5. 表达能力与论文写作，大家知道，数学建模竞赛，通常是要完成一个适当简化过的科
研项目，其最终成果表现为一篇完整的科研论文。论文写作与表达要注意这样几个方面：

其一，要用好Word，这包括：首先，尽可能使用样式，除了Word原先所提供的标题、正文
等样式外，还可以自定义样式。如果你发现自己是用选中文字然后用格式栏来设定格式的
，一定要注意，想想其他地方是否需要相同的格式，如果是的话，最好就定义一个样式。
对于相同排版表现的内容一定要坚持使用统一的样式。这样做能大大减少工作量和出错机
会，如果要对排版格式（文档表现）做调整，只需一次性修改相关样式即可。使用样式的
另一个好处是可以由Word自动生成各种目录和索引。其次，尽可能不要自己敲编号，要使
用交叉引用。如果你发现自己打了编号，一定要小心，这极可能给你文章的修改带来麻烦
。标题的编号可以通过设置标题样式来实现，表格和图形的编号通过设置题注的编号来完
成。在写“参见第x章、如图x所示”等字样时，不要自己敲编号，应使用交叉引用。这样
做以后，当插入或删除新的内容时，所有的编号和引用都将自动更新，无需人力维护。并
且可以自动生成图、表目录。编辑数学公式建议使用MathType5.0，其实Word集成的公式
编辑器是它的3.0版。安装MathType后，Word会增加一个菜单项，其功能一目了然。一定
要使用 MathType 的自动编号和引用功能。这样首先可以有一个良好的对齐，还可以自动
更新编号。Word 正文中插入公式的一个常见问题是把上下行距都撑大了，很不美观，这
部分可以通过固定行距来修正。第三，参考文献的编辑和管理。如果你在写论文时才想到
要整理参考文献，已经太迟了，当然更不应该等论文写到参考文献那一页时才去整理。应
该养成看文章的同时就整理参考文献的习惯。（注，参考文献整理方面，也有一些专门的
软件，我建议使用 Reference
Manager，它与Word集成得非常好，提供即写即引用（Citewhile you write，简称Cwyw）
的功能。你所做的只是像填表格一样地输入相关信息，如篇名、作者、年份等在文章中需
要引用文献的的方插入标记，它会为你生成非常美观和专业的参考文献列表，并且对参考
文献的引用编号也是自动生成和更新的。这除了可以保持格式上的一致、规范，减少出错
机会外，更可以避免正文中对参考文献的引用和参考文献列表之间的不匹配。并且从长远
来说，本次输入的参考文献信息可以在今后重复利用，从而一劳永逸）。最后，最好在竞
赛前，各参赛队根据自己的特点、喜好，建立具有自己风格的样式。在这方面，赛前多花
几天的工夫研究熟悉是值得的！
其二，内容组织与表现形式设计是两个问题。
其三，表达与写作是竞赛要考核的基本要素之一。
6. 要求学生具有较高的相互协作品质和能力，竞赛是3人为一个团队整体参赛，可以说是
一荣俱荣，一损俱损。
我们的做法主要体现在选拔学生和组队方式上，首先，强调自愿报名培训、参赛、组队。
其次，强调赛前要多联系、多交流，多磨合。最后，在上述基础上，根据学生们反馈的情
况，以及我们的观察再予以适当的调整。经验是：不能单看课程成绩选拔队员，动手能力
重要；性格外向更有利，但也要有人能脚踏实地。

四、 结语
这里把数学当成是一门技术，只是为了强调它的应用的一面，绝没有说他不严格，实际上
，数学建模通常要求对所得结论要经得起理论和实践的检验！
五、 背景资料
认知心理学派代表人物之一，著名的学习理论家奥苏贝尔提出了关于学习二维分类体系：
根据学习进行的方式，可以把学习分为接受学习与发现学习。接受学习是指学生以最后结
论的形成直接接受所学的知识，期间不涉及学生的任何独立发现。后者的主要内容要由学
生自己去独立发现，而不是由教师以定论的形式提供给学生。
数学教育在培养入的整体素质中的作用是毋庸置疑的。任何国家的课程设置从小学、中学
直至大学一、二年级，数学都是主科之一。随着数学应用的迅猛发展。随着计算机技术的
高速普及，极大地扩张了数学研究和应用的领域；以至有“一切高技术都可归结为数学技
术”，“海湾战争乃是一场数学实习”的说法。2000年曾被联合国命名为“数学年”，用
一门学科来命名一个年代，在历史上还是第一次，它反映了世界对数学这门学科的空前重
视。而人们使用数学这一工具的重要环节就是数学建模，即用数学语言和方法对各种实际
问题建立数学模型的方法和过程。
专家们指出，以往数学教学偏重理论．忽视应用是一个世界性的间题。在我国，由于课时
少、内容多等原因，在几十年数学教学内容的取舍中，被舍去的多是应用部分的内容。数
学教育在相当程度上日益背离我们的实际生活与工作，甚至变成一种分类的思维技巧的教
学与训练。这样的教学使学生失去了创造性运用数学知识的能力。在社会主义市场经济不
断发展的今天、我们的中学生对利息、折扣、保险、纳税、分期付款等问题中的算法一无
所知，对简单的批量生产决策无能为力。
美国国家研究委员会1998年的“人人关心的大事——就数学教育的未来向国家提出的报告
”中把数学建模引进中学，列入了数学教育改革最急需的项目之中。
加强数学与实际的联系也巳成为我国教育部教育改革的一个指导思想。我国著名数学家、
中科院院土、北京大学数学科学学院名誉院长姜伯驹教授指出：“在今后的技术社会、信
息社会里，数学将成为众多工作岗位的先决条件，就业机会的敲门砖，数学能力将制约一
个人的发展潜力。”如何培养学生应用数学能力已成为数学教育改革的重大课题。

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