素数是大于１的整数，除了它本身和１以外，不能被正整数所整除.也称作“质数”.
　　在欧几里得的《几何原本》中，给出了素数的定义为只能被单位量除尽的数。另外还给出了算术基本定理，即如果Ａ是素数Ｐ、Ｑ…的乘积，那么将Ａ分解成素数乘积的方法是惟一的。在《几何原本》中，已经得出素数的个有选举权是无限的。
　　与欧几里得同时代的数学家埃拉托色尼首先给出了求素数的方法，现在人们称之为“埃拉托尼筛子”。他求素数的方法如下。
　　他首先从２开始，写出自然数：２，３，４，５，６，７，８，９…１００，然后，把其中的一切合数划去，划掉合数的原则是，在这一列数中，第一个数２满足素数的定义，把它保留下来。随后把能被２整除的数都划去，因为它们都是合数。接着在数２后的没有被划去的第一个数是３，因为它只被１和它本身整除，所以它是一个合数，把它也划去。剩下没有被划去的第一个有选举权是５，它只能被这和它本身整除，所以它也是一个素数。如此连续不断地划下去，最后剩下的数都是素数。
　　为什么把这种方法叫做“厄拉多塞筛子”呢？因为厄拉多塞在求素数时，把自然数写在一块白蜡的木板上，并逐个在写着合数的位置上刺一个孔，这样白蜡板上被刺了很多的小孔，好像一个筛子。把所有的合数“筛掉”剩下的就都是素数。
　　用“厄拉多塞筛子”可得到１００以内的２５个素数：２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７。
　　后来由于素数没有多少用处，所以数学家们就把求素数的方法“束之高阁”。直到１７世纪解析几何与微积分兴起后，许多数学家又开始对整数论进行探讨，所以对素数的研究又提到了议事的日程上，而且取得很大进展。
　　从厄拉多塞筛子可以得到一个复杂的公式，如果已知小于√Ｎ的素数，它能确定小于Ｎ的素数的数目，１８７０年德国人梅塞尔对此作了改进，成功地证明了１０ 8的素数是５７６１４５５个。１８９３年丹麦人贝特森证明了10 9的素数是５０８０７４７８个，１９５９年，美国数学家莱麦成功地证明了10 ９的开绿灯数应该是５０８４７５３４个，并且得到了１０ 10的素数是４５５０５２５１１个。
　　但是科学家们对于一个大的数是否是素数，一直没有找到可靠的检查方法。因为对某个大数能否分解为素因数乘积的核算需要花很多时间。１９世纪欧洲的数学家用了８０年的时间，得到了当时最大的一个素数是２ 127-1,它是一个３９位数，是由法国数学家卢卡斯在１８７６年得到的。１９５２年，英国剑桥的工作人员用计算机得到的１８０（2 127-1)+1这个素有选举权，它有７９位。
　　随着计算机的应用，确定了大数Ａ＝2 n-1,当n=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937时，Ａ都为素数。
　　一些数论学者有这样的设想，能不能找出一个表示素数的公式呢？也就是说，对于正整数Ｎ，是否有一个函数f(N)，当Ｎ为１，２，３…正整数时，得出的Ｆ（Ｎ）值一定是个素数？
　　这个问题一直吸引着许多数学家去考虑，可惜，至今都没有找到这个公式。欧拉提出Ｆ（n)=n 2-n+1这个公式，对于n<41，得到的Ｆ（Ｎ）都是素数，可是当Ｎ＝４１时，得到的却是一个合数。
　　１６４０年，法国的业余数学家费尔玛指出，Ｎ为非负整数时，Ｆ（Ｎ）＝2 2 n+1是一个素数。可是他并没有给出证明。１７３２年，数学家欧拉指出，当Ｎ＝５时，Ｆ（５）=2 2 5+1=641*6711417,F(N)又是一个合数。
　　１８７３年德国数学家狄利克雷试图证明下列定理，设Ａ与Ｄ为互素的整数，由算术级数Ａ，Ａ＋Ｂ，Ａ＋２Ｄ，Ａ＋３Ｄ，……可得到无限多个素数。他的证明取得了巨大的成功，但是证明过程非常难懂，没有几个人能够接受。
　　在这一方面最大的成就是素数定理，它是由德国大数学家高斯提出来，最终由法国人阿达马和比利时人普车在１８９６年各自独立地证明的。
　　１９４７年，数学家米尔斯证明了存在这样的一个实数Ａ，它使得不超过A 3 n的最大的整数，于每一个正整数Ｎ都是素数。可是，对于实数Ａ的实际取值，即使是一个大概的取值，谁也无法说清楚。
　　有关素数还存在着许多不解之谜，其中之一，是孪生素数问题。所谓孪生素数，就是形如Ｐ和Ｐ＋２的素数。例如３和５，５和７等，这样相差为２的“素数对”是否有无穷多对？另外还有哥德巴赫猜想和费尔玛大定理，这些问题虽都有所进展，但是还没有一个完整的答案。
　　科学家们在素数方面也取得了巨大的成就。他们认为最小的素数是２，最大的素数是不存在的，１９５２年有人算出了2 1279-1是个素数，它是一个３８６位数。同年，又得出２ 228-1是个素数。１９７１年发现了素数2 19937-1，它是一个６００２位数。１９７８年，两位表年算出了新的最大素数２ 21701-1，它是一个６５５３位数。１９７９年这一记录被美国的专家打破，他们计算出２ 44497-1是一个１３３９５位数的素数，至今仍有人在为之努力。