递归算法 程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。 一个比较经典的描述是老和尚讲故事，他说从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，他说从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚在讲故事，他说从前有座山，……。这样没完没了地反复讲故事，直到最后老和尚烦了停下来为止。 反复讲故事可以看成是反复调用自身，但如果不能停下来那就没有意义了，所以最终还要能停下来。递归的关键在于找出递归方程式和递归终止条件。即老和尚反复讲故事这样的递归方程式要有，最后老和尚烦了停下来这样的递归的终止条件也要有。 阶乘的算法可以定义成函数 n*f(n－1) (n>0) f(n)＝ f(n)=1 (n=0) 当n>0时，用f(n-1)来定义f(n)，用f(n-1-1)来定义f(n-1)……，这是对递归形式的描述。 当n=0时，f(n)=1，这是递归结束的条件。 递归算法一般用于解决三类问题： ⑴. 数据的定义形式是按递归定义的。 比如阶乘的定义。 例1 又如裴波那契数列的定义：f(n)=f(n-1)+f(n-2); f(0)=1; f(1)=2 对应的递归程序为： var n:integer; function f(n:integer):longint; begin case n of 0:f:=1; {递归结束条件} 1:f:=2; else f:=f(n-1)+f(n-2) ｛递归调用｝ end end; begin readln(n); writeln(f(n)) end. 这类递归问题往往又可转化成递推算法，递归边界作为递推的边界条件。 ⑵. 问题解法按递归算法实现。例如回溯等。 ⑶. 数据的结构形式是按递归定义的。如树的遍历, 图的搜索等。 递归解决实际问题的例子很多，如经典的梵塔问题。 例2 梵塔问题：有n个半径各不相同的圆盘，按半径从大到小，自下而上依次套在A柱上，另外还有B、C两根空柱。要求将A柱上的n个圆盘全部搬到C柱上去，每次只能搬动一个盘子，且必须始终保持每根柱子上是小盘在上，大盘在下。 在移动盘子的过程当中发现要搬动n个盘子，必须先将n-1个盘子从A柱搬到B柱去，再将A柱上的最后一个盘子搬到C柱，最后从B柱上将n-1个盘子搬到C柱去。搬动n个盘子和搬动n-1个盘子时的方法是一样的，当盘子搬到只剩一个时，递归结束。 程序如下： var a,b,c,number:integer; procedure move(n,a,b,c:integer); begin if n=1 then writeln(a,'->',c) else begin move(n-1,a,c,b); writeln(a,'->',c); move(n-1,b,a,c) end; end; begin write('the number of dish:'); readln(number); move(number,1,2,3); readln end. 自然数的拆分，数字的拆分等都可以用到递归算法。 例3 要求找出具有下列性质的数的个数(包含输入的自然数n)： 先输入一个自然数n(n<=500),然后对此自然数按照如下方法进行处理: ①. 不作任何处理; ②. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半; ③. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止. 样例: 输入: 6 满足条件的数为 6 16 26 26 36 136 输出: 6 这道题只需求出满足条件的数的个数，在n值不大的情况下用递归求解比较方便，因为它本身题目的条件就是递归定义的。 递归的样例程序如下： var n,i:integer; s:real; procedure qiu(x:integer); var k:integer; begin if x<>0 then begin s:=s+1; for k:=1 to x div 2 do qiu(k) end end; begin readln(n); s:=0; qiu(n); writeln(s:2:0) end. 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。
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