I

两个n阶实对称矩阵合同，当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯定系数。

II

若A,B为n阶正定矩阵，则AB是可逆矩阵。

因为|A|>0  |B|>0  所以|AB|=|A|*|B|>0  所以AB可逆

但AB不一定是正定矩阵

A=(1 -3 )   B=(3  2)

  (0  1 )     (1  1)

AB=(0  -1)

    (1  1)

AB为非正定的矩阵.

III

        {n   R(A)=n

R(A*)=  {1   R(A)=n-1

        {0   R(A)<n-1

所以当R(A)<n-1的时候 A*为O矩阵

IV

A(m*n),B(n*s)满足A*B=0,并且R(A)<n，则R(A)+R(B)<=n

V

| O  A|  =(-1)^mn |A|*|B|      

| B  O|

VI

当A,B为n阶矩阵则, AB=O => r(A+B)<=r(A)+r(B)<=n

VII

A=P V P-1

VIII

AX=0 与 A’AX=0 同解(A’为A的转置)

AX=0 => A’0=0

A’AX=0  X’A’AX=X’0=0 所以(AX)’ AX=0

设AX=(b1,b2…bn)’

(AX)’ AX=b1*b1+b2*b2+…+bn*bn=0

所以b1=b2=..=bn=0

所以AX=0

IX

一道题目:

设A,B为n阶芳阵，且对任意y，有|yE-A|=|yE-B|，则
A). |yE+A|=|yE+B|
B).A与B相似
C).A与B合同
D).A,B同时可对角化或同时不可对角化