P120 6.1 <谭>
输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数.
<1> 用辗转相除法求最大公约数
算法描述:
m对n求余为a, 若a不等于0
则 m <- n, n <- a, 继续求余
否则 n 为最大公约数
<2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
int m_cup, n_cup, res; /*被除数, 除数, 余数*/
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n >0)
{
m_cup = m;
n_cup = n;
res = m_cup % n_cup;
while (res != 0)
{
m_cup = n_cup;
n_cup = res;
res = m_cup % n_cup;
}
printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup);
printf("Lease common multiple : %d\n", m * n / n_cup);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
★ 关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下:
约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。
辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。
对于52317和75569两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。
现在教你用辗转相除法来求最大公约数。
先用较大的75569除以52317，得商1，余数23252，再以52317除以23252，得商2，余数是5813，再用23252做被除数，5813做除数，正好除尽得商数4。这样5813就是5569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。
那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。
比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商8，余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1------l）
如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子：
b＝r1q2＋r2-------2）
如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢？因为如果2）式变成了b＝r1q2，那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由l）式，就一定能整除a，从而也是a1b的公约数。
反过来，如果一个数d，能同时整除a1b，那么由1）式，也一定能整除r1，从而也有d是b1r1的公约数。
这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数，在r1＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。
有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。
在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。
一般用辗转相除法，都列成下面的式子：
不过，《九章》中的辗转相除法略有些不同，它叫“更相减损”，是辗转相减的方法。这也很好理解，除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算，一直减到结果比除数小为止。
比如我们用“更相减损法”来求91和49的最大公约数，可以由91减49一次，得余42；再由49减42一次，余7；更由42减7，这一回要减五次，余的还是7，再减，就是0了。那么这个7就是91和49的最大公约数。这个7就是约分术中所谓的“等数”，因为减得结果和最后一次的减数相等了，就叫等数。
辗转相除法在小学中学都没教过，恐怕是有点难讲清其中的道理。不过，两千多年前的古人居然有此创造，咱们后人再学不会，可就惭愧了，何况这还是一种很实用的方法。
注: 上面这些讲解均来自网络,由于忘记来源,不能标明出处,还望谅解!
######################################改进########################################
经网友"私塾先生"的指点(见评论),作如下修改(还是辗转相除法):
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
int m_temp, n_temp, res;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
m_temp = m;
n_temp = n;
if (m > 0 && n >0)
{
do
{
res = n % m;
n = m;
m = res;
} while (m != 0);
printf("Greatest common divisor: %d\n", n);
printf("Lease common multiple : %d\n", m_temp * n_temp / n);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
测试结果:
===================================
Enter two integer:
22 33↙
Greatest common divisor: 11
Lease common multiple : 66
===================================
★ 换个写法,换汤不换药, 只写了最大公约数部分
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n >0)
{
int res;
while((res = m % n) != 0)
{
m = n;
n = res;
}
printf("Greatest common divisor: %d\n", n);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
测试结果:
==================================
Enter two integer:
22 99↙
Greatest common divisor: 11
==================================
######################################拾遗########################################
搜了一下,在一个帖中找到了另一种方法（查看该帖）,我猜这应该就是《九章》中的"更相减损" 法吧，是用减法做的，思路："如果两数不相等，那么就用大数减去小数，一直减到两数相等为止，这就是最大公约数。"
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n >0)
{
while(m != n)
{
if(m > n)
m = m - n;
else
n = n - m;
}
printf("Greatest common divisor: %d\n", m);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
运行结果:
===============================
Enter two integer:
22 33↙
Greatest common divisor: 11
===============================
######################################再拾########################################
又看到一个用穷举法做的( 查看出处 ), 实现如下:
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n >0)
{
int i;
int r; /* 最终为最大公约数 */
for(i = 1; i <= m || i <= n; i++)
if(m % i == 0 && n % i == 0)
r = i;
printf("Greatest common divisor: %d\n", r);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
测试结果:
==============================
Enter two integer:
22 99↙
Greatest common divisor: 11
==============================
######################################三拾########################################
又一种新的方法( 查看出处 ) , 至于什么原理, 是否合理, 还未仔细研究……。改写了一下，先搁这儿：
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n >0)
{
int r; /* 最终为最大公约数 */
r = m < n ? m : n; /* r为两个数中小者 */
while(r > 0)
{
if( !(m % r) )
if( !(n % r) )
break;
r--;
}
printf("GCD: %d\n", r);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
运行结果:
============================
Enter two integer:
22 605↙
GCD: 11
============================
其循环部分用for形式如下:
for( ; r > 0; r--)
{
if(!(m % r))
if(!(n % r))
break;
}
★ 大概查了一下,还有种递归的算法,等看到"函数"一章时再补上吧！
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