最大子矩阵问题：问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050)   给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。Example：0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 其中左上角的子矩阵：9 2 -4 1 -1 8 此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？ 让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：    给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如   31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。第一种方法－直接穷举法:   maxsofar=0;   for i = 0 to n   {       for j = i to n        {            sum=0;            for k=i to j                 sum+=a[k]             if (maxsofar>sum)               maxsofar=sum;       }   } 第二种方法－带记忆的递推法：   cumarr[0]=a[0]   for i=1 to n      //首先生成一些部分和   {        cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];          }    maxsofar=0   for i=0 to n   {       for j=i to n     //下面通过已有的和递推       {           sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]           if(sum>maxsofar)               maxsofar=sum       }   }显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。 下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。得出的算法如下：    int maxSubArray(int n,int a[])    {        int b=0,sum=-10000000;        for(int i=0;i<n;i++)        {             if(b>0) b+=a[i];             else b=a[i];             if(b>sum) sum=b;          }        return sum;    }这就是第三种方法－动态规划。 现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：| a11 …… a1i ……a1j ……a1n || a21 …… a2i ……a2j ……a2n || .     .     .    .   .    .    .   || .     .     .    .   .    .    .   || ar1 …… ari ……arj ……arn || .     .     .    .   .    .    .   || .     .     .    .   .    .    .   || ak1 …… aki ……akj ……akn || .     .     .    .   .    .    .   || an1 …… ani ……anj ……ann | 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。 此题的详细解答如下(Java描述): import java.util.Scanner;public class PKU_1050{     private int maxSubArray(int n,int a[])      {            int b=0,sum=-10000000;            for(int i=0;i<n;i++)             {                  if(b>0) b+=a[i];                  else b=a[i];                   if(b>sum) sum=b;            }            return sum;        }      private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)       {            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;            int b[]=new int[101];            for(i=0;i<n;i++)            {                   for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]                  {                        b[k]=0;                  }                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值                  {                        for(k=0;k<n;k++)                        {                               b[k]+=array[j][k];                        }                        max=maxSubArray(k,b);                          if(max>sum)                        {                                 sum=max;                        }                  }            }            return sum;      }      public static void main(String args[])       {            PKU_1050 p=new PKU_1050();            Scanner cin=new Scanner(System.in);             int n=0;            int[][] array=new int[101][101];             while(cin.hasNext())             {                        n=cin.nextInt();                           for(int i=0;i<n;i++)                        {                                   for(int j=0;j<n;j++)                                   {                                              array[i][j]=cin.nextInt();                                   }                        }                        System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));             }       }}   学习中·······

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