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数学猜想(2006-03-29 09:31:00)
摘要：
1.【回归数猜想】
英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象:
153=13+53+33 371=33+73+13 370=33+73+03 407=43+03+73
他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:
1634=14+64+34+44 54748=55+45+75+45+85 548834=56+46+86+86+36+46
像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?
1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.
设 An 是这样的回归数,即:
An=a1a2a3...an=a1n+a2n+...+ann (其中 0<=a1,a2,...an<=9)
从而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必须满足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n ⑴
随着自然数 n 的不断增大,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:
(10/9)60=556.4798...<10*60=600 ......