catalan数在数据结构中的应用 什么是catalan数？在网上找了n久，各种关于catalan数列的资料都残缺不堪，弄了半天才理解什么是catalan数。所以干脆自己梳理一番。原理：令h(1)＝1，catalan数满足递归式：h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)该递推关系的解为：h(n)=c(2n-2,n-1)/n (n=1,2,3,...) 我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数分析问题。我总结了一下，最典型的三类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）1.括号化问题。 矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种) 2.出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 3.将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 不过下面这个问题似乎不好归类，它怎么来应用这个catalan递归方程呢？你说说：n个结点可构造多少个不同的二叉树? 看的人倒是不少,愿意想一想的倒是不多,唉 h(n)=c(2n-2,n-1)/n 是什么意思哈 C代表什么呀 c代表组合数,即2n-2个体种选取n-1个的种类 re: catalan数在数据结构中的应用 2006-11-10 13:19 不过好像有些问题还不是那么好处理呵 例如“有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)”这个问题； 到底该如何利用类推法呢？ 假如用f(x)来表示x个人时的情况， 那么一个人时f(1)=1; 两个人时f(2)=2f(1)+1; 三个人时f(3)=3f(1)+f(2)f(1)+f(1)f(2); 四个人时f(4)=4f(1)+2f(3)f(1)+f(2)f(2)+f(1)f(2)f(1); …… 这样貌似还是有点不好处理呀……    re: catalan数在数据结构中的应用 2006-11-10 13:39 @江水兽 你是说这么递归解这一堆递归式吧. 大可不必, 我们只需要发现一个问题满足catalan数列的递归式,然后直接就可以得到解 f(n)=h(n)=c(2n-2,n-1)/n 有时候还要看具体问题,可能最终的解是h(n+1)或h(n-1)或h(2n)等等  

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