数独(sudoku)的生成与破解
最近在网上比较流行的智力游戏。笔者本人也玩过，可以下个模拟游戏试试，简单的还可以，太难就无从下手了。虽然偶脑子不好使，但偶是计算机科班出身，怕你不成，老规矩，编程破解。
首先，偶是第一次做数独的程序，可能程序不强，以后有时间再改进改进。望高手评析。
还是把数独游戏的规则说一说吧，或许你是刚刚听说这个名字的朋友。数独(sudoku)，起源于瑞士，于1970 年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志首先发表，当时名为Number Place。及后在日本大力推广下得以发扬光大，于1984 年取名“数独”，即“独立的数字”的省略，在一个9x9的方格中，有81个小方格组成，然后又分9个大块，每块由3x3的方格组成，就是中国的九宫图，大九宫里面再套9个小九宫，共九九八十一个小格子，游戏开始前会有一些格子上写好了数，你需要在剩下的格子里填数，真到把所有格子填满，并且要求，任何一行或一列或者一个小九宫中没有相同的数字，当然你只能用1-9之间的9个数字。如下图就是一个数独。希望我解释清楚了，如果你还不清楚，用google搜索一下相关资料，点这里http://www.google.com/search?q=sudoku%20%E6%95%B0%E7%8B%AC&hl=zh-CN&lr=&nxpt=10.1471893728569764719035
好啦，言归正传。简单来说，我的破解法非常简单，就是超级无敌强硬大搜索，呵呵，别拿你想数独的那套来让计算机想，它比你可笨得多了，它只会照程序做事，做得快而已，快就是它的本事，其它的一概不会。
核心算法：深度优先搜索（其它形式的搜索也可以）
数据结构：如果用递归的形式写深搜，定义在函数dfs里的所有变量都可以看成是这里的数据结构，因为它们自动地被系统压入栈内，所以，省了，你唯一要做的就是一个二维数组，存放当前数独的状态。
当然有了这些，偶还不敢动手做，如果你做过马遍历的程序，大概会有点怕，那才8x8，这里是9x9，不来点‘启发式’谁敢动手写程序，有可能一个数独来几千几万个解，一个解要搜80层上下（估计），懂得树这个数据结构的人就会明白，80层是什么概念，1-9有9个数字，就是9叉树，至少是9^80量级的代价，什么？计算机反正算得快？也不行，再快的计算机遇到指数复杂度的程序也得变回傻子！谢天谢地，棋局尺寸是固定不变的，我们需要做的就是，剪枝。
偶的启发式思想来源于偶想数独的思路，数独之所以难是因为可行情况太多，把这种不确定性降低就会使它变得简单。某个格子上可以填的数字的个数就称为它的不确定度吧，首先，如果一开始空格比较少，那空格上的不确定度就小，数独也就相对容易，同时，随着填上去数字增多，剩余空格上的不确定度也会降低，如果某个格子上的不确定度降到1，那这个格子可以先确定下来，如果降到了0，哦，非常遗憾，在前面的填数中一定是填错了，剪枝也发生在这里，你不得不回退。
详细地说，如果把每个空格做为分枝，那要优先选择哪个分枝进行搜索呢？对每个空格计算它的权值，也就是它的不确定度，然后从中选出最小的一个进行搜索，同时放弃其它空格在这一层上的搜索！也就是说对剩余的空格交给子层处理。这样在某一个结点上的处理就包括两步：1，选择最佳空格，2，遍历这个空格的所有可行值，填入空格，递归。
OK，看程序：
#ifndef SUDOKU_RICK_0701_
#define SUDOKU_RICK_0701_
class CSudoku
{
int map[9][9];
int solves;
int check(int,int,int*);
void dfs();
public:
CSudoku(int n=40);// 随机生成数独,n越大越难
CSudoku(int *data);// 人工指定数独
virtual ~CSudoku();
void display();// 输出数独
void resolve();// 解数独
};
#endif
#include "sudoku.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
CSudoku::CSudoku(int n)
{
int i,j,k,m,mark[10],temp,blanks=0;
srand(time(0));
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=0;j<9;++j)
map[i][j]=j+1;
for(j=0;j<9;++j)
{
int a=rand()%9;
int b=rand()%9;
temp=map[i][a];
map[i][a]=map[i][b];
map[i][b]=temp;
}
}
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=1;j<=9;++j)
mark[j]=0;
for(j=0;j<9;++j)
{
if(mark[map[j][i]])
{
for(k=8;k>=0;--k)
{
if(mark[map[j][k]]==0)
{
temp=map[j][i];
map[j][i]=map[j][k];
map[j][k]=temp;
break;
}
}
}
else
{
mark[map[j][i]]=1;
}
}
}
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=1;j<=9;++j)
mark[j]=0;
for(j=8;j>=0;--j)
{
if(mark[map[j][i]])
{
map[j][i]=0;
blanks++;
}
else
mark[map[j][i]]=1;
}
}
for(i=0;i<9;i+=3)
{
for(j=0;j<9;j+=3)
{
for(k=1;k<=9;++k)
mark[k]=0;
for(k=0;k<3;++k)
{
for(m=0;m<3;++m)
{
if(map[i+k][j+m]==0)
continue;
if(mark[map[i+k][j+m]])
{
map[i+k][j+m]=0;
blanks++;
}
else
mark[map[i+k][j+m]]=1;
}
}
}
}
while(n>blanks)
{
m=rand()%81;
i=m/9;
j=m%9;
if(map[i][j]>0)
{
map[i][j]=0;
blanks++;
}
}
printf("(randomized sudoku created with %d blanks.)\n",blanks);
}
CSudoku::CSudoku(int *data)
{
int *pm=(int*)map;
for(int i=0;i<81;++i)
pm[i]=data[i];
}
CSudoku::~CSudoku()
{
return;
}
void CSudoku::display()
{
for(int i=0;i<9;++i)
{
for(int j=0;j<9;++j)
{
if(map[i][j]>0)
printf("< %d > ",map[i][j]);
else
printf("[ ] ");
}
printf("\n");
}
}
void CSudoku::resolve()
{
solves=0;
dfs();
if(solves==0)
printf("(sorry,this sudoku is a bad one.)\n");
}
int CSudoku::check(int y,int x,int *mark)
{
int i,j,is,js,count=0;
for(i=1;i<=9;++i)
mark[i]=0;
for(i=0;i<9;++i)
mark[map[y][i]]=1;
for(i=0;i<9;++i)
mark[map[i][x]]=1;
is=y/3*3;
js=x/3*3;
for(i=0;i<3;++i)
{
for(j=0;j<3;++j)
mark[map[is+i][js+j]]=1;
}
for(i=1;i<=9;++i)
if(mark[i]==0)
count++;
return count;
}
void CSudoku::dfs()
{
int i,j,im=-1,jm,min=10;
int mark[10];
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=0;j<9;++j)
{
if(map[i][j])
continue;
int c=check(i,j,mark);
if(c==0)
return;
if(c<min)
{
im=i;
jm=j;
min=c;
}
}
}
if(im==-1)
{
printf("No. %d:\n",++solves);
display();
return;
}
check(im,jm,mark);
for(i=1;i<=9;++i)
{
if(mark[i]==0)
{
map[im][jm]=i;
dfs();
}
}
map[im][jm]=0;
}
#include <iostream>
#include "sudoku.h"
using namespace std;
int main()
{
int data1[]=
{4,9,0,0,0,6,0,2,7,
5,0,0,0,1,0,0,0,4,
6,0,0,0,0,8,0,0,3,
1,0,4,0,0,0,0,0,0,
0,6,0,0,0,0,0,5,0,
0,0,0,0,0,0,2,0,8,
7,0,0,2,0,0,0,0,5,
8,0,0,0,9,0,0,0,1,
3,4,0,5,0,0,0,6,2
};
int data2[]=
{7,4,0,0,8,0,0,1,6,
9,0,0,0,3,5,0,0,4,
0,0,0,7,0,0,0,0,0,
0,7,0,0,0,9,5,0,0,
6,1,0,0,5,0,0,8,7,
0,0,2,6,0,0,0,4,0,
0,0,0,0,0,4,0,0,0,
3,0,0,5,6,0,0,0,2,
5,6,0,0,1,0,0,3,9
};
CSudoku s1(data1);
s1.display();
s1.resolve();
CSudoku s2(data2);
s2.display();
s2.resolve();
return 0;
}
代码里有很大部分实际上是在‘生成数独’，然后结果并不是我所料的那样，我用随机填充的方法，生成的大都是没有解的数独，如果空格太多，解是有，也太多。所以数独的生成似乎成了个难题。
数独的生成，最好的情况是，先得到一个完整的数独，然后根据难度需要，随机地挖一些空格出来，过程是相反的，所以可以保证有解。所以关键就是如何得到完整的数独，也要有一定的随机化。用上面的程序可以试验出来，如果我挖的空格越大，就越容易出解（相对于无解的情况），那偶就可以从一些有很多空格的数独出发，用解数独的程序，先解一个数独，那不就得到了完整的数独！也就是先只设定少数一些位置上的数字，然后用解数独程序得到完整数独，然后再挖一些空格出来，这样就得到一个绝对有解的数独，that's right!
偶的生成方法采用很简单的方法，因为可以通过上面的程序验证，当有72个空格时，可以很快得到一个数独解，偶就在一开始在每一行的随机位置上填上1-9的数字，这些初始数字就叫他们种子吧，不同的种子可以得到不同的数独，9行，每行9个位置，那有9的9次方，大概3亿多个不同情况，那我至少可以得到3亿多个不同的完整数独，再随机去掉不同数目的空格，那就可以生成相当数量的数独了！
改进了的数独生成程序及完整的数独代码：（比原来更短了）
#ifndef SUDOKU_RICK_0701_
#define SUDOKU_RICK_0701_
class CSudoku
{
int map[9][9];
int smod;
int solves;
int check(int,int,int*);
void dfs();
public:
enum{ANY=0,ALL=1};
CSudoku(int n=40);// 随机生成数独,n越大越难
CSudoku(int *data);// 人工指定数独
virtual ~CSudoku();
void display();// 显示数独
int resolve(int mod=ALL);// 解数独
};
#endif
#include "sudoku.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
CSudoku::CSudoku(int n)
{
int i,j;
srand(time(0));
do
{
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=0;j<9;++j)
map[i][j]=0;
j=rand()%9;
map[i][j]=i+1;
}
}
while(!resolve(ANY));
// 挖窟窿
for(int k=0;k<n;)
{
i=rand()%81;
j=i%9;
i=i/9;
if(map[i][j]>0)
{
map[i][j]=0;
++k;
}
}
//printf("(randomized sudoku created with %d blanks.)\n",blanks);
}
CSudoku::CSudoku(int *data)
{
int *pm=(int*)map;
for(int i=0;i<81;++i)
pm[i]=data[i];
}
CSudoku::~CSudoku()
{
return;
}
void CSudoku::display()
{
for(int i=0;i<9;++i)
{
for(int j=0;j<9;++j)
{
if(map[i][j]>0)
printf("< %d > ",map[i][j]);
else
printf("[ ] ");
}
printf("\n");
}
}
int CSudoku::resolve(int mod)
{
smod=mod;
if(mod==ALL)
{
solves=0;
dfs();
return solves;
}
else if(mod==ANY)
{
try
{
dfs();
return 0;
}
catch(int)
{
return 1;
}
}
return 0;
}
int CSudoku::check(int y,int x,int *mark)
{
int i,j,is,js,count=0;
for(i=1;i<=9;++i)
mark[i]=0;
for(i=0;i<9;++i)
mark[map[y][i]]=1;
for(i=0;i<9;++i)
mark[map[i][x]]=1;
is=y/3*3;
js=x/3*3;
for(i=0;i<3;++i)
{
for(j=0;j<3;++j)
mark[map[is+i][js+j]]=1;
}
for(i=1;i<=9;++i)
if(mark[i]==0)
count++;
return count;
}
void CSudoku::dfs()
{
int i,j,im=-1,jm,min=10;
int mark[10];
for(i=0;i<9;++i)
{
for(j=0;j<9;++j)
{
if(map[i][j])
continue;
int c=check(i,j,mark);
if(c==0)
return;
if(c<min)
{
im=i;
jm=j;
min=c;
}
}
}
if(im==-1)
{
if(smod==ALL)
{
printf("No. %d:\n",++solves);
display();
return;
}
else if(smod==ANY)
{
throw(1);
}
}
check(im,jm,mark);
for(i=1;i<=9;++i)
{
if(mark[i]==0)
{
map[im][jm]=i;
dfs();
}
}
map[im][jm]=0;
}
#include <iostream>
#include "sudoku.h"
using namespace std;
int main()
{
int data1[]=
{4,9,0,0,0,6,0,2,7,
5,0,0,0,1,0,0,0,4,
6,0,0,0,0,8,0,0,3,
1,0,4,0,0,0,0,0,0,
0,6,0,0,0,0,0,5,0,
0,0,0,0,0,0,2,0,8,
7,0,0,2,0,0,0,0,5,
8,0,0,0,9,0,0,0,1,
3,4,0,5,0,0,0,6,2
};
int data2[]=
{7,4,0,0,8,0,0,1,6,
9,0,0,0,3,5,0,0,4,
0,0,0,7,0,0,0,0,0,
0,7,0,0,0,9,5,0,0,
6,1,0,0,5,0,0,8,7,
0,0,2,6,0,0,0,4,0,
0,0,0,0,0,4,0,0,0,
3,0,0,5,6,0,0,0,2,
5,6,0,0,1,0,0,3,9
};
int blanks;
cout<<"随机生成一个数独,输入空格数";
cin>>blanks;
CSudoku s(blanks);
s.display();
cout<<"开始解数独:"<<endl;
s.resolve();
return 0;
}
测试运行结果：
随机生成一个数独,输入空格数40
[ ] < 7 > < 8 > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] < 6 >
< 6 > < 3 > [ ] < 7 > [ ] < 2 > < 8 > [ ] < 5 >
< 2 > [ ] [ ] < 8 > [ ] [ ] [ ] [ ] < 9 >
< 3 > < 9 > [ ] < 1 > [ ] [ ] < 2 > < 5 > [ ]
[ ] [ ] [ ] < 2 > < 5 > < 4 > < 6 > [ ] < 3 >
< 4 > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] < 7 > < 1 > [ ]
[ ] [ ] [ ] < 4 > < 7 > [ ] [ ] < 3 > < 1 >
< 9 > < 4 > [ ] < 6 > < 2 > < 1 > < 5 > < 8 > [ ]
[ ] [ ] < 7 > < 9 > < 3 > [ ] [ ] < 6 > < 2 >
开始解数独:
No. 1:
< 1 > < 7 > < 8 > < 5 > < 4 > < 9 > < 3 > < 2 > < 6 >
< 6 > < 3 > < 9 > < 7 > < 1 > < 2 > < 8 > < 4 > < 5 >
< 2 > < 5 > < 4 > < 8 > < 6 > < 3 > < 1 > < 7 > < 9 >
< 3 > < 9 > < 6 > < 1 > < 8 > < 7 > < 2 > < 5 > < 4 >
< 7 > < 8 > < 1 > < 2 > < 5 > < 4 > < 6 > < 9 > < 3 >
< 4 > < 2 > < 5 > < 3 > < 9 > < 6 > < 7 > < 1 > < 8 >
< 5 > < 6 > < 2 > < 4 > < 7 > < 8 > < 9 > < 3 > < 1 >
< 9 > < 4 > < 3 > < 6 > < 2 > < 1 > < 5 > < 8 > < 7 >
< 8 > < 1 > < 7 > < 9 > < 3 > < 5 > < 4 > < 6 > < 2 >
No. 2:
< 1 > < 7 > < 8 > < 5 > < 4 > < 9 > < 3 > < 2 > < 6 >
< 6 > < 3 > < 9 > < 7 > < 1 > < 2 > < 8 > < 4 > < 5 >
< 2 > < 5 > < 4 > < 8 > < 6 > < 3 > < 1 > < 7 > < 9 >
< 3 > < 9 > < 6 > < 1 > < 8 > < 7 > < 2 > < 5 > < 4 >
< 7 > < 8 > < 1 > < 2 > < 5 > < 4 > < 6 > < 9 > < 3 >
< 4 > < 2 > < 5 > < 3 > < 9 > < 6 > < 7 > < 1 > < 8 >
< 8 > < 6 > < 2 > < 4 > < 7 > < 5 > < 9 > < 3 > < 1 >
< 9 > < 4 > < 3 > < 6 > < 2 > < 1 > < 5 > < 8 > < 7 >
< 5 > < 1 > < 7 > < 9 > < 3 > < 8 > < 4 > < 6 > < 2 >
Press any key to continue
rickone 2007/01/25
评论
2.随机填数然后找满解可能无解.
3.该方法可能产生大量不唯一解,大大降低了难度.
.....