在书上看到的一个定理，书上留给读者证，我想了好久才想出来。

不知道下面这些CODE能不能作用，需要一个IE插件MathPlay观看。

定义：
0，邻域：在定义了正实函数p(a,b)满足距离定义之后，定义U(x,d)={y|p(x,y)<d}，称为x的d邻域
1，内点：如果存在x的邻域U(x,d)是E的子集，那x就是E的内点
2，点集的内部：假设记为$E^o$，定义为，$E^o$={x|x是E的内点}
3，开集：如果集合E，满足$E=E^o$，那么E就是开集。

试证：$E^o$是开集。
证明：由定义3，即证$(E^o)^o=E^o$
由定义1、2显然有$(E^o)^o\subseteq E^o$，于是只要证$E^o\subseteq (E^o)^o$

$\forall x \in E^o$     (1)
假设$x \notin (E^o)^o$  (2)

以下证出矛盾：

由(1)即
$\exists U0(x,d_0) \subset E$
由(2)即
$\forall U1(x,d) \exists x_0 \in U1(x,d) 且x_0 \notin E^o$
又即
$\forall U2(x_0,d) \exists x_1 \in U2(x_0,d)且x_1 \notin E$ (3)

于是矛盾慢慢出现了。

取
$U1(x,d)=U(x,d_0/2)$
$\therefore p(x,x_0)<d_0/2$
取
$U2(x_0,d)=U(x_0,d_0/4)$
$\therefore p(x_1,x_0)<d_0/4$
$\therefore p(x,x_1)<=p(x,x_0)+p(x_0,x_1)=3/4d_0<d_0$
$\therefore x_1 \in U0(x,d_0) \subset E$
$\therefore x_1 \in E$这与(3)矛盾，(3)由(1)(2)推出，故假设不成立。
$\therefore x \in (E^o)^o$
$\therefore E^o \subseteq (E^o)^o$
$\therefore (E^o)^o=E^o$

评论