在书上看到的一个定理，书上留给读者证，我想了好久才想出来。 不知道下面这些CODE能不能作用，需要一个IE插件MathPlay观看。 定义：0，邻域：在定义了正实函数p(a,b)满足距离定义之后，定义U(x,d)={y|p(x,y)<d}，称为x的d邻域1，内点：如果存在x的邻域U(x,d)是E的子集，那x就是E的内点2，点集的内部：假设记为$E^o$，定义为，$E^o$={x|x是E的内点}3，开集：如果集合E，满足$E=E^o$，那么E就是开集。 试证：$E^o$是开集。证明：由定义3，即证$(E^o)^o=E^o$由定义1、2显然有$(E^o)^o\subseteq E^o$，于是只要证$E^o\subseteq (E^o)^o$ $\forall x \in E^o$     (1)假设$x \notin (E^o)^o$  (2) 以下证出矛盾： 由(1)即$\exists U0(x,d_0) \subset E$由(2)即$\forall U1(x,d) \exists x_0 \in U1(x,d) 且x_0 \notin E^o$又即$\forall U2(x_0,d) \exists x_1 \in U2(x_0,d)且x_1 \notin E$ (3) 于是矛盾慢慢出现了。 取$U1(x,d)=U(x,d_0/2)$$\therefore p(x,x_0)<d_0/2$取$U2(x_0,d)=U(x_0,d_0/4)$$\therefore p(x_1,x_0)<d_0/4$$\therefore p(x,x_1)<=p(x,x_0)+p(x_0,x_1)=3/4d_0<d_0$$\therefore x_1 \in U0(x,d_0) \subset E$$\therefore x_1 \in E$这与(3)矛盾，(3)由(1)(2)推出，故假设不成立。$\therefore x \in (E^o)^o$$\therefore E^o \subseteq (E^o)^o$$\therefore (E^o)^o=E^o$

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