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最长递增子序列问题的求解(LIS)2006-04-23 17:13:00

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应该把这个问题看成一个基本问题,感觉用动态规划的算法比较容易想到,也很不错,关于那个改进的O(nlogn)的算法有些不太明白,大部分动态规划都要寻求一个当前状态的最小值或最大值,如果按这样的思想,那不是所有的DP算法都可以降为O(nlogn)?

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最长递增子序列问题的求解

 

最长递增子序列问题是一个很基本、较常见的小问题,但这个问题的求解方法却并不那么显而易见,需要较深入的思考和较好的算法素养才能得出良好的算法。由于这个问题能运用学过的基本的算法分析和设计的方法与思想,能够锻炼设计较复杂算法的思维,我对这个问题进行了较深入的分析思考,得出了几种复杂度不同算法,并给出了分析和证明。

一,    最长递增子序列问题的描述

L=<a1,a2,…,an>n个不同的实数的序列,L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>,其中k1<k2<…<kmaK1<ak2<…<akm。求最大的m值。

二,    第一种算法:转化为LCS问题求解

设序列X=<b1,b2,…,bn>是对序列L=<a1,a2,…,an>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。


最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a1,a2,…,ai>,Xj=< b1,b2,…,bj>,它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程:

这可以用时间复杂度为O(n2)的算法求解,由于这个算法上课时讲过,所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n2)的时间,算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)+O(n2)=O(n2)。

三,    第二种算法:动态规划法


f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程:

这个递推方程的意思是,在求以ai为末元素的最长递增子序列时,找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj,即j<i且aj<ai。如果这样的元素存在,那么对所有aj,都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j),把其中最大的f(j)选出来,那么f(i)就等于最大的f(j)加上1,即ai为末元素的最长递增子序列,等于以使f(j)最大的那个aj为末元素的递增子序列最末再加上ai;如果这样的元素不存在,那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。

这个算法由Java实现的代码如下:

public void lis(float[] L)

  {

         int n = L.length;

         int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值;

         f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1

         for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1

         {

                f[i]=1;//f[i]的最小值为1

                for(int j=0;j<i;j++)//循环i

                {

                       if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)

                              f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。

                }

         }

         System.out.println(f[n-1]);            

              }


这个算法有两层循环,外层循环次数为n-1次,内层循环次数为i次,算法的时间复杂度

所以T(n)=O(n2)。这个算法的最坏时间复杂度与第一种算法的阶是相同的。但这个算法没有排序的时间,所以时间复杂度要优于第一种算法。

四,    对第二种算法的改进

在第二种算法中,在计算每一个f(i)时,都要找出最大的f(j)(j<i)来,由于f(j)没有顺序,只能顺序查找满足aj<ai最大的f(j),如果能将让f(j)有序,就可以使用二分查找,这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。于是想到用一个数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素,即有

B[f(j)] = aj

在计算f(i)时,在数组B中用二分查找法找到满足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。下面先写出代码,再证明算法的证明性。用Java实现的代码如下:

lis1(float[] L)

{

    int n = L.length;

    float[] B = new float[n+1];//数组B;

    B[0]=-10000;//把B[0]设为最小,假设任何输入都大于-10000;

    B[1]=L[0];//初始时,最大递增子序列长度为1的最末元素为a1

    int Len = 1;//Len为当前最大递增子序列长度,初始化为1;

    int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界,下界和中点;

    for(int i = 1;i<n;i++)

    {

        p=0;r=Len;

        while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列;

        {

           m = (p+r)/2;

           if(B[m]<L[i]) p = m+1;

           else r = m-1;

        }

        B[p] = L[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;

        if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度;

       

       

    }

    System.out.println(Len);

}

 

现在来证明这个算法为什么是正确的。要使算法正确只须证如下命题:

命题1:每一次循环结束数组B中元素总是按递增顺序排列的。

证明:用数学归纳法,对循环次数i进行归纳。

i=0时,即程序还没进入循环时,命题显然成立。

i<k时命题成立,当i=k时,假设存在j1<j2,B[j1]>B[j2],因为第i次循环之前数组B是递增的,因此第i次循环时B[j1]B[j2]必有一个更新,假设B[j1]被更新为元素ai+1,由于ai+1=B[j1]> B[j2],按算法ai+1应更新B[j2]才对,因此产生矛盾;假设B[j2]被更新,设更新前的元素为s,更新后的元素为ai+1,则由算法可知第i次循环前有B[j2]s< ai+1< B[j1],这与归纳假设矛盾。命题得证。

命题2B[c]中存储的元素是当前所有最长递增子序列长度为c的序列中,最小的最末元素,即设当前循环次数为i,有B[c]={aj| f(k)=f(j)=ck,ji+1ajak}(f(i)为与第二种算法中的f(i)含义相同)

证明:程序中每次用元素ai更新B[c](c=f(i)),设B[c]原来的值为s,则必有ai<s,不然ai就能接在s的后面形成长度为c+1的最长递增子序列,而更新B[c+1]而不是B[c]了。所有B[c]中存放的总是当前长度为c的最长递增子序列中,最小的最末元素。

命题3设第i次循环后得到的pp(i+1),那么p(i)为以元素ai为最末元素的最长递增子序列的长度。

证明:只须证p(i)等于第二种算法中的f(i)。显然一定有p(i)<f(i)。假设p(i)<f(i),那么有两种情况,第一种情况是由二分查找法找到的p(i)不是数组B中能让ai接在后面成为新的最长递增子序列的最大的元素,由命题1和二分查找的方法可知,这是不可能的;第二种情况是能让ai接在后面形成长于p(i)的最长递增子序列的元素不在数组B中,由命题2可知,这是不可能的,因为B[c]中存放的是最末元素最小的长度为c的最长递增子序列的最末元素,若ai能接在长度为L(L> p(i))的最长递增子序列后面,就应该能接在B[L]后面,那么就应该有p(i)=L,L> p(i)矛盾。因此一定有p(i)f(i),命题得证。

算法的循环次数为n,每次循环二分查找用时logn,所以算法的时间复杂度为O(nlogn)。这个算法在第二种算法的基础上得到了较好的改进。

五,    总结

本论文只给出了计算解的大小而没有给出构造解的方法,因为我认为计算解的大小的算法已能给出对问题的本质认识,只要计算解大小的算法设计出,构造解就只是技术细节的问题了,而我关心的是怎样对问题得到很好的认识而设计出良好的算法。以上几种算法已用Java实现,都能得到正确的结果。在设计和改进算法时用到了基本的算法设计和分析、证明的基本方法,很好的锻炼了设计与分析算法的思维能力,让我从感性上认识到算法分析与设计的重要性,并且感受了算法分析、设计和改进的乐趣。
                                        2005年1月14日

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