无穷饭店
在宇宙中有一个饭店叫无穷饭店，无穷饭店已经住满了人。一天，来了一个乘客要住店，怎么住？无穷饭店的老板非常聪明，他想到一个办法，设无穷饭店的房间号是0,1,2,...，那让所有住在i号房间的顾客改为住i+1号房间，那0号房间就空出来了。第二天，又来了n个乘客（n为某正整数），同样的办法，所有顾客只要往后移n个房间，这n个人就可以住进来。第三天，这回来了无穷多个乘客，这下怎么办？老板一拍脑袋，这样吧，让所有现在住i号房间的顾客都住到2*i号房间，这样就可以空出所有的奇数号房间，而且也可以住进无穷多个人。

这个例子是以前数学分析的老师举的，其实这里的无穷只能限定为‘可数的’无穷，还有很多类无穷是不可数的。

对于集合，可以简单的分成‘有限集’和‘无限集’，有限集很容易，有限个是很容易理解的，我们可以记集合的基为有限集的元素个数，它给人的感觉就是集合的大小。但对于无限集是否还有基的概念呢？

首先是阿列夫0，这是一种基，是多少不知道，只是一个记号，基是阿列夫0的集合叫‘可数集’，定义为元素可以和自然数建立一一对应关系的集数。比如{正偶数}，{负奇数}，{整数}等。

它有几个性质：
1、可数集并有限集仍然是可数集
2、有限个可数集的并集是可数集
3、可数个可数集的并集是可数集
第三个的意思是，虽然你给了我无穷多个可数集，但我可以把这些可数集按某种顺序排列起来，于是就可以建立与自然数的对应，结论就可以是无穷并集仍是可数集。

利用3可以证明{有理数}是可数集。书上有证明，略。

其次是阿列夫1，这也是一种基，是多少也不知道，同样是一个记号，也叫连续基数，它定义为实数集合R0={x|x属于(0,1)之间，x属于实数}的基。
首先R0不可数，证明非常经典。
首先把所有的(0,1)间的数全写成无穷小数，对于有限小数这样处理，比如0.23=0.229999...
这样处理后所有的数都可表示成
0.x1x2x3x4...
的形式
假设它是可数的，则可以排列成
a1=a11a12a13a14...
a2=a21a22a23a24...
...
an=an1an2an3an4...
...
并且这无穷多个数包含了全部(0,1)间的实数，现在再构造一个
b=b11b22b33...
方法是
     2 aii==1
bii={
     1 aii!=1
那这个数b，就不等于任何一个数ai，因为至少aii位上的数不同。于是b不在{a1,a2,a3...}里，但b在(0,1)里，所以R0不是可数的。所以就算是无穷饭店的老板也没有办法住下这个顾客b!

同样可以建立R0~R的一一对应关系，所以它们是同基的，即R的基也是阿列夫1。

在这里想到一个以前想的问题，到底是有理数多还是无理数多？对于无穷多元素的集合我们只能比较基，就拿Q={有理数}和R0比吧，记Q0={x|x是有理数，x属于R0}，显然Q0包含于Q，假设R0-Q0是可数的，由可数集的性质知R0一定是可数的，矛盾，所以R0-Q0是不可数的，又是无穷集，所以至少是阿列夫1，结果出来了。不要说有理数比无理数多，实际上，它比(0,1)上的无理数都少得多！这样你会不会对实数有新的感觉？记得初中的时候感觉有理数把实轴填得差不多了，无理数只是很少一些，非也非也。

除了阿列夫1，还有没有基更大的？有，可以证明#A<#(2^A)，（#A表示A的基）其中2^A是A的幂集，就是所有A的子集组成的集合（集合的集合）书上给出了证明，证明过程利用了悖论，也相当经典。这个定理告诉我们，没有最大的基，就我们所了解的数学对象只发现阿列夫1而已。

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