递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 
  能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。 
【问题】   编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。 
  斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即： 
    fib(0)=0; 
    fib(1)=1; 
    fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)     （当n>1时）。 
写成递归函数有： 
int fib(int n) 
{   if (n==0)     return 0; 
  if (n==1)     return 1; 
  if (n>1)     return fib(n-1)+fib(n-2); 
} 
  递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。 
  在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 
  在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 
  由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 
【问题】   组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：   （1）5、4、3     （2）5、4、2     （3）5、4、1 
      （4）5、3、2     （5）5、3、1     （6）5、2、1 
      （7）4、3、2     （8）4、3、1     （9）4、2、1 
      （10）3、2、1 
  分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   MAXN   100 
int   a[MAXN]; 
void   comb(int m,int k) 
{   int i,j; 
  for (i=m;i>=k;i--) 
  {   a[k]=i; 
    if (k>1) 
      comb(i-1,k-1); 
    else 
    {   for (j=a[0];j>0;j--) 
        printf(“%4d”,a[j]); 
      printf(“\n”); 
    } 
  } 
} 

void main() 
{   a[0]=3; 
  comb(5,3); 
} 
【问题】   背包问题 
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 
对于第i件物品的选择考虑有两种可能： 
（1）   考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 
（2）   考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 
按以上思想写出递归算法如下： 
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv) 
{   /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 
  if(包含物品i是可以接受的) 
  {   将物品i包含在当前方案中； 
    if (i<n-1) 
      try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 
    else 
      /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
      恢复物品i不包含状态； 
    } 
    /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 
    if (不包含物品i仅是可男考虑的) 
      if (i<n-1) 
        try(i+1,tw,tv-物品i的价值)； 
      else 
        /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
  } 
  为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表： 
物品   0   1   2   3 
重量   5   3   2   1 
价值   4   4   3   1 

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。 

按上述算法编写函数和程序如下： 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   N   100 
double   limitW,totV,maxV; 
int   option[N],cop[N]; 
struct   {   double   weight; 
      double   value; 
    }a[N]; 
int   n; 
void find(int i,double tw,double tv) 
{   int k; 
  /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 
  if (tw+a.weight<=limitW) 
  {   cop=1; 
    if (i<n-1)   find(i+1,tw+a.weight,tv); 
    else 
    {   for (k=0;k<n;k++) 
        option[k]=cop[k]; 
      maxv=tv; 
    } 
    cop=0; 
} 
  /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 
  if (tv-a.value>maxV) 
    if (i<n-1)   find(i+1,tw,tv-a.value); 
    else 
    {   for (k=0;k<n;k++) 
        option[k]=cop[k]; 
      maxv=tv-a.value; 
    } 
} 

void main() 
{   int k; 
  double w,v; 
  printf(“输入物品种数\n”); 
  scanf((“%d”,&n); 
  printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
  {   scanf(“%1f%1f”,&w,&v); 
    a[k].weight=w; 
    a[k].value=v; 
    totV+=V; 
  } 
  printf(“输入限制重量\n”); 
  scanf(“%1f”,&limitV); 
  maxv=0.0; 
  for (k=0;k<n;k++)   cop[k]=0; 
  find(0,0.0,totV); 
  for (k=0;k<n;k++) 
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1); 
  printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 
} 
  作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   N   100 
double   limitW; 
int   cop[N]; 
struct   ele   {   double   weight; 
        double   value; 
      } a[N]; 
int   k,n; 
struct   {   int     flg; 
      double   tw; 
      double   tv; 
    }twv[N]; 
void next(int i,double tw,double tv) 
{   twv.flg=1; 
  twv.tw=tw; 
  twv.tv=tv; 
} 
double find(struct ele *a,int n) 
{   int i,k,f; 
  double maxv,tw,tv,totv; 
  maxv=0; 
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
    totv+=a[k].value; 
  next(0,0.0,totv); 
  i=0; 
  While (i>=0) 
  {   f=twv.flg; 
    tw=twv.tw; 
    tv=twv.tv; 
    switch(f) 
    {   case 1:   twv.flg++; 
          if (tw+a.weight<=limitW) 
            if (i<n-1) 
            {   next(i+1,tw+a.weight,tv); 
              i++; 
            } 
            else 
            {   maxv=tv; 
              for (k=0;k<n;k++) 
                cop[k]=twv[k].flg!=0; 
            } 
          break; 
      case 0:   i--; 
          break; 
      default:   twv.flg=0; 
          if (tv-a.value>maxv) 
            if (i<n-1) 
            {   next(i+1,tw,tv-a.value); 
              i++; 
            } 
            else 
            {   maxv=tv-a.value; 
              for (k=0;k<n;k++) 
                cop[k]=twv[k].flg!=0; 
            } 
          break; 
    } 
  } 
  return maxv; 
} 

void main() 
{   double maxv; 
  printf(“输入物品种数\n”); 
  scanf((“%d”,&n); 
  printf(“输入限制重量\n”); 
  scanf(“%1f”,&limitW); 
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 
  for (k=0;k<n;k++) 
    scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); 
  maxv=find(a,n); 
  printf(“\n选中的物品为\n”); 
for (k=0;k<n;k++) 
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1); 
  printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 
} 

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