正文

模运算及其应用2008-10-25 11:59:00

【评论】 【打印】 【字体: 】 本文链接:http://blog.pfan.cn/goal00001111/39093.html

分享到:

模运算及其应用

goal00001111搜集整理

 

摘要:模运算在数论和程序设计中应用很广泛,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。本文从模运算的概念,性质,到模运算的基本应用,较为全面的介绍了模运算及其编程方法。

关键词:模运算 程序设计 应用

 

       模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用,从奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍,但多数都是以纯理论为主,对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。本文以c++语言为载体,对基本的模运算应用进行了分析和程序设计,以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

 

基本理论:

基本概念:

给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式  n = kp + r
其中kr是整数,且 0 ≤ r < p,称呼kn除以p的商,rn除以p的余数。
对于正整数p和整数a,b,定义如下运算: 
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。 

p加法:(a + b) % p ,其结果是a+b算术和除以p的余数,也就是说,(a+b) = kp +r,则(a + b) % p = r 

p减法:(a-b) % p ,其结果是a-b算术差除以p的余数。 

p乘法:(a * b) % p,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。 
说明:

1. 同余式:正整数abp取模,它们的余数相同,记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,p无关。例如:7%4 = 3 -7%4 = -3 7%-4 = 3 -7%-4 = -3

基本性质:

1)若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7) 18 ≡ 4(% 7)

2(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

3)对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

4)传递性:若a≡b (% p)b≡c (% p) ,则a≡c (% p)

 

运算规则:

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
        (a + b) % p = (a % p + b % p) % p            
1
        (a - b) % p = (a % p - b % p) % p            
2 
        (a * b) % p = (a % p * b % p) % p            
3
       ab % p = ((a % p)b) % p                        
4

结合率: ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p  5

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p   6

交换率: (a + b) % p = (b+a) % p                 7

(a * b) % p = (b * a) % p                 8

分配率: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p  9

重要定理:若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10

a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11

a≡b (% p)c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)(a - c) ≡ (b - d) (%p)

(a * c) ≡ (b * d) (%p)(a / c) ≡ (b / d) (%p) 12

a≡b (% p),则对于任意的c,都有ac≡ bc (%p)     13

 

基本应用:

1.判别奇偶数

       奇偶数的判别是模运算最基本的应用,也非常简单。易知一个整数n2取模,如果余数为0,则表示n为偶数,否则n为奇数。

C++实现功能函数:

       /*

函数名:IsEven

函数功能:判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数,否则为奇数                        

输入值:int n,整数n

返回值:bool,若整数n是偶数,返回true,否则返回false

*/

bool IsEven(int n)

{

    return (n % 2 == 0);

}

 

2.判别素数

       一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。例如 2357 是质数,而 4689 则不是,后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法:用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数,若该自然数能被整除,则说明其非素数。

C++实现功能函数:

       /*

函数名:IsPrime

函数功能:判别自然数n是否为素数。                                                                         

输入值:int n,自然数n

返回值:bool,若自然数n是素数,返回true,否则返回false

*/

bool IsPrime(unsigned int n)

{

    unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

   

    for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)

    {

             if (n % i == 0) //n能被i整除,则说明n非素数

             {

               return false;

        }

       }

       return true;

}

 

3. 最大公约数

       求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法(又称辗转相除法),其计算原理依赖于定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设da,b的一个公约数,则有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d(b,a mod b)的公约数

假设d (b,a mod b)的公约数,则d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

C++实现功能函数:

/*

函数功能:利用欧几里德算法,采用递归方式,求两个自然数的最大公约数          

函数名:Gcd

输入值:unsigned int a,自然数a

        unsigned int b,自然数b

返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

    if (b == 0)

        return a;

    return Gcd(b, a % b);

}

/*

函数功能:利用欧几里德算法,采用迭代方式,求两个自然数的最大公约数                  函数名:Gcd

输入值:unsigned int a,自然数a

        unsigned int b,自然数b

返回值:unsigned int,两个自然数的最大公约数

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

      unsigned int temp;

    while (b != 0)

    {

        temp = a % b;

        a = b;

        b = temp;

    }

    return a;

}

 

4.模幂运算

       利用模运算的运算规则,我们可以使某些计算得到简化。例如,我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来,那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555%10),所以问题就简化了。

       根据运算规则(4ab % p = ((a % p)b) % p  ,我们知道3333^5555%10= 3^5555%10)。由于3^4 = 81,所以3^4%10= 1

根据运算规则(3 (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ,由于5555 = 4 * 1388 + 3,我们得到3^5555%10=3^(4*1388) * 3^3)(%10=((3^(4*1388)%10* 3^3%10))(%10

=1 * 7)(%10= 7

       计算完毕。

       利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1,然后重复将result乘以X,每次乘法之后应用%运算符(这样使得result的值变小,以免溢出),执行N次相乘后,result就是我们要找的答案。

       这样对于较小的N值来说,实现是合理的,但是当N的值很大时,需要计算很长时间,是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

       如果N是偶数,那么X^N =X*X^[N/2]

       如果N是奇数,那么X^N = X*X^(N-1) = X *X*X^[N/2]

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数:

/*

函数功能:利用模运算规则,采用递归方式,计算X^N(% P)    

函数名:PowerMod

输入值:unsigned int x,底数x

        unsigned int n,指数n

        unsigned int p,模p

返回值:unsigned intX^N(% P)的结果

*/

unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)

{

    if (n == 0)

    {

              return 1;

    }

   

    unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算(X*X^[N/2]

   

    if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性

    {

             temp = (temp * x) % p;

    }

   

    return temp;

}

 

5.《孙子问题(中国剩余定理)

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以32,除以53,除以72.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:

三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。

"正半月"暗指15"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。

这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是357时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理,我把此种解法推广到有n(n为自然数)个除数对应n个余数,求最小被除数的情况。输入n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数:

/*

函数名:ResidueTheorem

函数功能:运用剩余定理,解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,返回最小被除数                                                                         

输入值:unsigned int devisor[],存储了n个除数的数组

        unsigned int remainder[],存储了n个余数的数组

              int length,数组的长度

返回值:unsigned int 最小被除数

*/

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{

    unsigned int product = 1; //所有除数之乘积

    for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积 

       {

             product *= devisor[i];

       }  

      

    //公倍数数组,表示除该元素(除数)之外其他除数的公倍数

    unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

       for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素(除数)之外其他除数的公倍数 

       {

             commonMultiple[i] = product / devisor[i];

       } 

      

       unsigned int dividend = 0;  //被除数,就是函数要返回的值

       for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数,但此时得到的不是最小被除数

       {

             unsigned int tempMul = commonMultiple[i];

             //按照剩余理论计算合适的公倍数,使得tempMul % devisor[i] == 1

             while (tempMul % devisor[i] != 1)

             {

            tempMul += commonMultiple[i];

           }

          

           dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数

       }

   

    delete []commonMultiple;

    return (dividend % product);  //返回最小被除数

}


6.
凯撒密码

凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯o凯撒(Julius Caesar)创造的,用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用,z的后面可以堪称是a

例如,当密匙为k = 3,即向后移动3位时,若明文为”How are you!”,则密文为”Krz duh btx!”

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下:

在这里,我们做此约定:明文记为m,密文记为c,加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥),

解密变换记为D(key2,m)key2为解密密钥)(在这里key1=key2,不妨记为key)。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换:cm+key (mod n (其中n为基本字符个数)

同样,解密过程可表示为:mc+key (mod n (其中n为基本字符个数)
C++
实现功能函数:

/*

函数功能:使用凯撒密码原理,对明文进行加密,返回密文                                          函数名:Encrypt

输入值:const char proclaimedInWriting[],存储了明文的字符串

        char cryptograph[],用来存储密文的字符串

              int keyey,加密密匙,正数表示后移,负数表示前移

返回值:无返回值,但是要将新的密文字符串返回

*/

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母个数

    int len = strlen(proclaimedInWriting);

   

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')

             {//明码是大写字母,则密码也为大写字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

        }

             else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')

             {//明码是小写字母,则密码也为小写字母

            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//明码不是字母,则密码与明码相同

            cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

        }

       }

       cryptograph[len] = '\0';

}

 

/*

函数功能:使用凯撒密码原理,对密文进行解密,返回明文                                          函数名:Decode

输入值:char proclaimedInWriting[],用来存储明文的字符串

        const char cryptograph[],存储了密文的字符串

              int keyey,解密密匙,正数表示前移,负数表示后移(与加密相反)

返回值:无返回值,但是要将新的明文字符串返回

*/

void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)

{

    const int NUM = 26; //字母个数

    int len = strlen(cryptograph);

   

    for (int i=0; i<len; i++)

    {

             if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')

             {//密码是大写字母,则明码也为大写字母,为防止出现负数,转换时要加个NUM

          proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

        }

             else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')

             {//密码是小写字母,则明码也为小写字母

            proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

        }

        else

        {//密码不是字母,则明码与明密相同

            proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

        }

       }

       proclaimedInWriting[len] = '\0';

}

 

       模运算及其简单应用就先讲到这了,其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛,我这这里搜集整理了一些最最基本的情形,希望能够起到一个抛砖引玉的作用,让更多的人关注模运算,并及其应用到更广阔的领域中。      

 

参考文献:

1.       《模运算》百度贴吧http://tieba.baidu.com/f?kz=30549931

2.       《模运算性质》 中国百科网

http://www.chinabaike.com/article/316/shuxue/2007/20071005554776.html

3.       《数据结构与问题求解》 Mark Allen Weiss清华大学出版社

4.       《孙子问题(中国剩余定理)

http://hi.baidu.com/bjxiaoyao/blog/item/55ce951001d57d00213f2e30.html

5.       《破解凯撒kaiser密码》

http://bbs.sei.ynu.edu.cn/viewthread.php?tid=5734

阅读(4541) | 评论(0)


版权声明:编程爱好者网站为此博客服务提供商,如本文牵涉到版权问题,编程爱好者网站不承担相关责任,如有版权问题请直接与本文作者联系解决。谢谢!

评论

暂无评论
您需要登录后才能评论,请 登录 或者 注册