引言     说到分治算法，最容易想到的例子是在数组中查找元素，常用的算法是遍历整个数组进行查找，算法时间复杂度为O（n）；但是对于有序数组，使用二分查找法，可以使时间复杂度减少到O（logn）。 普通查找法： int IsElement(int a[], int len, int x) //判断数据x是否为数组a的元素，如果是返回该元素的下标，否则返回-1 {     int i;         for (i=0; i<len; i++)     {         if (a[i] == x)             return i;     }         return -1; } 二分查找法： int IsElement(int a[], int len, int x) {     int left = 0;     int right = len - 1;     int mid;         while (left <= right)     {         mid = (left + right) / 2;//寻找中点，以便将数组分成两半         if (a[mid] == x)//刚好找到             return mid;         else if (a[mid] > x)//比中点元素小，右边界左移             right = mid - 1;         else //否则左边界右移             left = mid + 1;     }         return -1; } 也可以写成递归的形式： int IsElement(int a[], int len, int x)//驱动程序 {     return Binary(a, 0, len-1, x); } int Binary(int a[], int left, int right, int x)//二分递归查找 {     int mid = (left+right)/2;         if (left > right)//没找到         return -1;             if (a[mid] == x) //刚好找到         return mid;     else if (a[mid] > x) //比中点元素小，递归查找左侧数组         return Binary(a, left, mid-1, x);     else  //比中点元素大，递归查找右侧数组         return Binary(a, mid+1, right, x); } 在二分查找法中，我们不断的减少查找区域的范围，把大问题分解成结构相同的小问题，直到问题得解。与二分查找法类似的算法很多，我们将它们归类称为分治法。   设计原理 1.分治法的基本思想 任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。 分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。 通常，这种分析方法的基本点在于“分解”，因此这种方法也被称为“划分(Divide)和解决(Con—quer)”方法。也正因为如此，它和语言工具中的递归结下了不解之缘。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 2.分治法的适用条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。  上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。 3.分治法的基本步骤 分治法在每一层递归上都有三个步骤： 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题； 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。 它的一般的算法设计模式如下： DividAndConquer(p(n))//分治法设计原理 {     if (n <= n0)         return Adhoc(p(n));     else     {         //将P分解为较小的子问题P1、P2、…、Pk         Divide p int o smaller subinstances P1, P2, ..., Pk;         for (i=1; i<=k; i++)             yi = DividAndConquer(pi);//递归解决Pi         return Merge(y1, y2, ..., yk);//合并子问题     } }　　其中 p(n)表示一个规模为n的问题P，可以把它分解成k个规模较小的子问题，这些问题相互独立，并且与原来的问题结构相同。在解决这些子问题时，又用相同的方式对每一个子问题进行进一步的分解，直到某个阈值n0为止。递归的解这些子问题，再把各个子问题的解合并起来，就得到原来问题的解。这就是分治法的思想方法。n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。Adhoc(p(n))是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法Adhoc(p(n))求解。 　　算法Merge(y1, y2, ..., yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1、P2、…、Pk的相应的解y1、y2、…、yk合并为P的解。 　　根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？这些问题很难予以肯定的回答。但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

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