我所理解的堆排序算法
堆排序在最坏的情况下，其时间复杂度也能达到O（nlogn）。相对于快速排序来说，
这是它最大的优点，此外，堆排序仅需要一个记录大小供交换用的辅助存储空间。
堆排序的数据结构是二叉堆，二叉堆的特点有两个，一个是它是一棵完全二叉树，
另一个是它的根结点小于孩子结点，所以我们很容易找到它的最小结点----根结点；当然
如果你想找到最大结点的话，那就要扫描所有的叶子结点，这是很费时间的，如果你想找的
是最大结点的话，你最好把它弄成一个大顶堆，即一棵根结点大于孩子结点的完全二叉树。
二叉堆通常用数组来实现，它舍弃下标0，从下标1开始置数，则很容易满足，对于数组
中任意位置i上的元素，其左儿子的位置在2i上，右儿子的位置在2i+1上，双亲的位置则在
i/2上。
堆排序的算法之一是把数组构建成二叉堆----这只要增添一个长度为n+1的辅助空间，
然后把原数组的元素依次插入到二叉堆即可。然后删除二叉堆的根，把它作为排序后的数组
的第一个元素,然后使二叉堆的长度减1，并通过上移使得新得到的序列仍为二叉堆，
再提取新二叉堆的第一个元素到新数组。依此类推，直到提取最后一个元素，
新得到的数组就是排序后的数组。
template <class T>
void Insert(T a[], int len, T x)//把x插入到原长度为len的二叉堆，注意保证新二叉堆不越界
{
int i;
for (i=len; i/2>0 && a[i/2]>x; i/=2)
a[i] = a[i/2];
a[i] = x;
}
template <class T>
T DeleteMin(T a[], int len)//删除二叉堆的根，并通过上移使得新得到的序列仍为二叉堆
{
if (len == 0)
exit(1);
T min = a[1];//二叉堆的根
T last = a[len--];//二叉堆的最后一个元素
int c;
int i;
for (i=1; i*2<=len; i=c)//把二叉堆的某些元素往前移，使得新得到的序列仍为二叉堆
{
c = i * 2;//i的左儿子
if (c != len && a[c+1] < a[c])//若i有右儿子，且右儿子小于左儿子，c指向右儿子
c++;
if (last > a[c])//若i的小儿子小于二叉堆的最后一个元素，把其移到i的位置
a[i] = a[c];
else
break;
}
a[i] = last; //把二叉堆的最后一个元素放到适当的空位，此时得到的序列仍为二叉堆
return min;
}
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1]; //复制原数组到二叉堆
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++) //把元素依次插入到二叉堆
Insert(ca, i+1, a[i]);
for (int i=0; i<len; i++)//依次提取二叉堆的根作为排序后的数组的元素
{
a[i] = DeleteMin(ca, len-i);
}
a[len-1] = ca[1]; //注意不能忘了最后一个元素
delete []ca;
}
在《数据结构习题与解析》（李春葆 编著 清华大学出版社）中看到一个类似的算法，
它是把原数组构建成一个大顶堆，然后把大顶堆的第一个元素与最后一个元素交换；
再把前n-1个元素重新构造成一个大顶堆，把新大顶堆的第一个元素与最后一个元素交换；
依此类推，直到新大顶堆只有一个元素，这样就得到了一个有序的二叉堆。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //建立初始堆
HeapAdjust(ca, len, i);
for (int i=len; i>1; i--)//进行len-1次循环，完成堆排序
{
Swap(ca[1], ca[i]); //新大顶堆的第一个元素与最后一个元素交换
HeapAdjust(ca, i-1, 1);//筛a[1]元素，得到i-1个元素的堆
}
for (int i=0; i<len; i++)
a[i] = ca[i+1];
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int left) //将i与其小儿子交换位置
{
if (len == 0)
exit(1);
T x = a[left];
int i = left;
int c = 2 * i;
while (c <= len)
{
if (c < len && a[c+1] > a[c])//若i有右儿子，且右儿子大于左儿子，c指向右儿子
c++;
if (last < a[c])//若i的大儿子大于二叉堆的最后一个元素，把其移到i的位置
{
a[i] = a[c];
i = c;
c = 2 * i;
}
else
break;
}
a[i] = x; //把原二叉堆的第一个元素放到适当的空位
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
还有一种方法是每次都要重新调整大顶堆，使得父亲比儿子大，这样调整的函数较简单，
但因为每次都要遍历一半的元素，时间复杂度较大。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //把原数组构建成一个大顶堆
HeapAdjust(ca, len, i);
Swap(ca[1], ca[len]); //把大顶堆的第一个元素与最后一个元素交换
for (int i=len-1; i>0; i--)
{
for (int j=i/2; j>0; j--)//遍历长度为i的堆，得到新的大顶堆
HeapAdjust(ca, i, j);
Swap(ca[1], ca[i]);
}
for (int i=0; i<len; i++)
a[i] = ca[i+1];
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int i) //将i与其小儿子交换位置
{
int c = 2 * i;
if (c < len)
{
T & max = (a[c] > a[c+1])? a[c] : a[c+1];
if (a[i] < max)
Swap(a[i], max);
}
else
{
if (a[i] < a[c])
Swap(a[i], a[c]);
}
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
模仿构造大顶堆的方法，我们可以调用HeapAdjust()构造一个二叉堆，并提取二叉堆的根到新数组，
然后把原二叉堆的最后一个元素放到根的位置，再调用HeapAdjust()构造一个新二叉堆，依此类推。
算法如下：
template <class T>
void HeapSort(T a[], int len)
{
T *ca = new T[len+1];
ca[0] = 0;
for (int i=0; i<len; i++)
ca[i+1] = a[i];
for (int i=len/2; i>0; i--) //把原数组构建成一个大顶堆
HeapAdjust(ca, len, i);
a[0] = ca[1];
ca[1] = ca[len]; //把二叉堆的最后一个元素放到根的位置
for (int i=len-1; i>0; i--)
{
for (int j=i/2; j>0; j--)
HeapAdjust(ca, i, j);
a[len-i] = ca[1];
ca[1] = ca[i]; //把二叉堆的最后一个元素放到根的位置
}
delete []ca;
}
template <class T>
void HeapAdjust(T a[], int len, int i)
{
int c = 2 * i;
if (c < len)
{
T & min = (a[c] < a[c+1])? a[c] : a[c+1];
if (a[i] > min)
Swap(a[i], min);
}
else
{
if (a[i] > a[c])
Swap(a[i], a[c]);
}
}
template <class T>
void Swap(T & a, T & b)
{
T t = a;
a = b;
b = t;
}
后面两种方法采用的是递归，容易理解，但时间复杂度较高，因为比前两种要慢上很多，
所以不可能是O（nlogn），估计是O（n^2），但具体我也不会算，请高手指教。
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