"1"的数目 给定一个十进制正整数N，写下从1 开始，到N 的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数。 例如： N= 2，写下1，2。这样只出现了1 个“1”。 N= 12，我们会写下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1 的个数是5。 问题是： 1. 写一个函数f（N），返回1到N之间出现的“1”的个数,比如f（12）=5。 2. 在32位整数范围内，满足条件“f（N）= N”的最大的N是多少？   【问题1 的解法一】 这个问题看上去并不是一个困难的问题，因为不需要太多的思考，我想大家都能找到一个最简单的方法来计算f（N），那就是从1 开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，自然就得到了从1 到N 所有“1”的个数的和。写成程序如下： public class OneToN {         // 计算某一个数中 1 的个数     private long Count1InAInteger(long n)     {         long iNum = 0;         while (n != 0)        {             iNum += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;             n /= 10;         }         return iNum;     }     // 计算从 1 到 n 中 1 的个数     public long f(long n)     {                 long iCount = 0;          for (long i = 1; i <= n; i++)         {             iCount += Count1InAInteger(i);         }         return iCount;        } } class Program {      static void Main(string[] args)      {           OneToN ot = new OneToN();           long count = ot.f(12);           Console.WriteLine(count);      } } 复制代码 这个方法很简单，只要学过一点编程知识的人都能想到，实现也很简单，容易理解。但是这个算法的致命问题是效率，它的时间复杂度是 O（N）×计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度 = O（N * log2 N）如果给定的 N 比较大，则需要很长的运算时间才能得到计算结果。比如在笔者的机器上，如果给定N=100 000 000，则算出f （N）大概需要40 秒的时间，计算时间会随着N 的增大而线性增长。 看起来要计算从 1 到N 的数字中所有1 的和，至少也得遍历1 到N 之间所有的数字才能得到。那么能不能找到快一点的方法来解决这个问题呢？要提高效率，必须摈弃这种遍历1 到N 所有数字来计算f（N）的方法，而应采用另外的思路来解决这个问题。   【问题1 的解法二】 仔细分析这个问题，给定了 N，似乎就可以通过分析“小于N 的数在每一位上可能出现1 的次数”之和来得到这个结果。让我们来分析一下对于一个特定的N，如何得到一个规律来分析在每一位上所有出现1 的可能性，并求和得到最后的f（N）。 先从一些简单的情况开始观察，看看能不能总结出什么规律。 先看 1 位数的情况。 如果N = 3，那么从1 到3 的所有数字：1、2、3，只有个位数字上可能出现1，而且只出现1 次，进一步可以发现如果N 是个位数，如果N>=1，那么f（N）都等于1，如果N=0，则f（N）为0。 再看 2 位数的情况。 如果N=13，那么从1 到13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现1 的次数有两次：1 和11，十位出现1 的次数有4 次：10、11、12 和13，所以f（N）=2+4=6。 要注意的是11 这个数字在十位和个位都出现了1，但是11 恰好在个位为1 和十位为1 中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑N=23 的情况，它和N=13 有点不同，十位出现1 的次数为10 次，从10 到19，个位出现1 的次数为1、11 和21，所以f（N）=3+10=13。 通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现1 的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果N 的个位数大于等于1，则个位出现1 的次数为十位数的数字加1；如果 N 的个位数为0，则个位出现1 的次数等于十位数的数字。而十位数上出现1 的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1 的次数为个位数的数字加1；如果十位数大于1，则十位数上出现1 的次数为10。 f(13) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 2 + 4 = 6； f(23) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 3 + 10 = 13； f(33) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 4 + 10 = 14； … f(93) = 个位出现1的个数 + 十位出现1的个数 = 10 + 10 =20； 接着分析 3 位数。 如果 N = 123：个位出现 1 的个数为13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121 十位出现1 的个数为20：10～19, 110～119 百位出现1 的个数为24：100～123 f（23）= 个位出现1 的个数 + 十位出现1 的个数 + 百位出现1 的次数 = 13 + 20 + 24 = 57； 同理我们可以再分析 4 位数、5 位数。读者朋友们可以写一写，总结一下各种情况有什么不同。   根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从 N 得到f（N）的计算方法： 假设 N=abcde，这里a、b、c、d、e 分别是十进制数N 的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现1 的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位（更高位）以上的数字。 如果百位上的数字为 0，则可以知道，百位上可能出现1 的次数由更高位决定，比如12 013，则可以知道百位出现1 的情况可能是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有1 200 个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）×当前位数（100）。 如果百位上的数字为 1，则可以知道，百位上可能出现1 的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于12 113，受更高位影响，百位出现1 的情况是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现1 的情况是12 100～12 113，一共114 个，等于低位数字（123）+1。 如果百位上数字大于 1（即为2~9），则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12 213，则百位出现1 的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有1 300 个，并且等于更高位数字+1（12+1）×当前位数（100）。

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