【5】归并排序当初学习链表的时候，我们都曾经做过将两个有序链表合成一个有序链表的练习。那时我们就知道了归并的特点就是，将分段有序的序列合成整体有序的序列。在内部排序中，归并的地位并不十分重要，主要是因为附加的O(n)的储存空间；但是，归并却是外部排序的不二法门——我们只能用内排得到分段有序的序列，为了得到最后的有序序列，必须使用归并的方法。 迭代的2路归并排序2路归并是最简单的，并且单纯对内存中数据操作2路的往往是最好的（比如平衡树，AVL树经常优于m叉的平衡树）。所谓的迭代就是先归并len＝1的N个序列，然后是len＝2的N/2个序列，len＝4的N/4个序列……最后归并2个序列就完成了。实际写的时候，需要一个和原来序列一样大小的临时数组。执行偶数次“一趟归并”能够使得最后的结果保存在原来的数组中。 //迭代2路归并排序及其所需的子程序 template <class T> void Merge(T S[], T D[], int l, int m, int n, int& KCN, int& RMN) {        //S[]源表，D[]归并后的表，l源表第一个段的起始序号，m源表第二个段的起始序号，n源表的长度        int i = l, j = m, k = l;//i第一段的指针，j第二段的指针，k目的表指针        for (; i < m && j < n; RMN++, k++)               if (++KCN && S[i] > S[j]) { D[k] = S[j]; j++; } else { D[k] = S[i]; i++; }        if (i < m)               for (; i < m; i++, k++, RMN++) D[k] = S[i];        else               for (; j < n; j++, k++, RMN++) D[k] = S[j]; } template <class T> void MergePass(T S[], T D[], int len, int N, int& KCN, int& RMN) {        int i = 0;        for (; i+2*len < N; i += 2*len) Merge(S, D, i, i+len, i+2*len, KCN, RMN);        if (i+len < N) Merge(S, D, i, i+len, N, KCN, RMN);//剩余多于一个len，再做一次归并        else for (; i < N; i++, RMN++) D[i] = S[i];//少于等于一个len，直接复制 } template <class T> void MergeSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) {        KCN = 0; RMN = 0;        T* temp = new T[N]; int len = 1;        while (len < N)//固定执行偶数次MergePass，最后的结果在原来的数组里        {               MergePass(a, temp, len, N, KCN, RMN); len *= 2;               MergePass(temp, a, len, N, KCN, RMN); len *= 2;        }        delete []temp; } 测试结果，直接取N＝100000： Sort ascending  N=100000        TimeSpared: 210ms KCN=877968     KCN/N=8.77968    KCN/N^2=8.77968e-005KCN/NlogN=0.528589 RMN=1800000    RMN/N=18         RMN/N^2=0.00018    RMN/NlogN=1.08371 Sort randomness N=100000        TimeSpared: 230ms KCN=1529317    KCN/N=15.2932    KCN/N^2=0.000152932KCN/NlogN=0.920741 RMN=1800000    RMN/N=18         RMN/N^2=0.00018    RMN/NlogN=1.08371 Sort descending N=100000        TimeSpared: 201ms KCN=815024     KCN/N=8.15024    KCN/N^2=8.15024e-005KCN/NlogN=0.490693 RMN=1800000    RMN/N=18         RMN/N^2=0.00018    RMN/NlogN=1.08371 可以看到RMN是个定值，RMN/N的值是不小于log2N的最小偶数，有兴趣比较一下N＝1和N＝2的差异就明白了。和快排（N＝100000，乱序）相比，虽然归并的KCN和RMN都要少一些，但快排的速度还是要比归并排序快一倍（说明归并的额外动作多了一些），这个现象的确值得我们思考，这也是我加上KCN和RMN统计的一个意外收获——归并比快排慢不是因为KCN和RMN比快排多，而是一些额外的东西。 仔细分析就会发现，归并的多余时耗主要在小段归并上，如果我们用在N非常小的时候最为高效的直插来代替此时的归并，应该能带来效率的提升。如下面的例程，首先用直插来产生len＝32的初始归并段，然后再归并： template <class T> void MergeSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) {        KCN = 0; RMN = 0;        T* temp = new T[N]; int len = 32, i, j, k; //分段进行直插排序，生成初始为len长的归并段          for (k = 1; k < N; k += len)        {               for (i = k; i < k+len-1 && i < N; i++)//为了避免i<N这个判断，可以对原序列剩余小于len的序列另写一个直插               {                      T temp = a[i]; RMN++;                      for (j = i; j >= k && ++KCN && temp < a[j - 1]; j--) { a[j] = a[j - 1]; RMN++; }                      a[j] = temp; RMN++;               }        }          while (len < N)//固定执行偶数次MergePass，最后的结果在原来的数组里        {               MergePass(a, temp, len, N, KCN, RMN); len *= 2;               MergePass(temp, a, len, N, KCN, RMN); len *= 2;        }        delete []temp; } 测试结果： Sort ascending  N=100000        TimeSpared: 160ms KCN=724843     KCN/N=7.24843    KCN/N^2=7.24843e-005KCN/NlogN=0.436399 RMN=1393750    RMN/N=13.9375    RMN/N^2=0.000139375RMN/NlogN=0.839121 Sort randomness N=100000        TimeSpared: 160ms KCN=2009896    KCN/N=20.099     KCN/N^2=0.00020099 KCN/NlogN=1.21008 RMN=2166630    RMN/N=21.6663    RMN/N^2=0.000216663RMN/NlogN=1.30444 Sort descending N=100000        TimeSpared: 170ms KCN=2115024    KCN/N=21.1502    KCN/N^2=0.000211502KCN/NlogN=1.27337 RMN=2943750    RMN/N=29.4375    RMN/N^2=0.000294375RMN/NlogN=1.77231 对于N=100000乱序排序减少了70ms，应该说是比较满意的。 递归的2路表归并排序很自然的，除了从len＝1开始两两归并外，还可以从len＝N开始，1/2分裂成左右序列分别归并排序，这是一个递归过程。如果我们仔细的观察这个递归，会发现这和前面的迭代是一样的（N＝2k的情况）。递归带来的好处是可以方便的使用静态链表（非常容易实现表头的动态产生和消亡），如果我们不使用链表，研究递归的归并也没什么意思。 //递归的2路表归并排序及其所需子程序 template <class T> int ListMerge(T a[], int link[], int head1, int head2, int& KCN) {        int k, head, i = head1, j = head2;//i,j为两个链表的游标，k为结果链表游标，结果链表的表头为head        //因为没有表头节点，表头需单独处理 if (++KCN && a[i] > a[j]) { head = j; k = j; j = link[j]; }        else { head = i; k = i; i = link[i]; }        while (i != -1 && j != -1)        {               if (++KCN && a[i] > a[j]) { link[k] = j; k = j; j = link[j]; }               else { link[k] = i; k = i; i = link[i]; }        }        if (i == -1) link[k] = j;//i链检测完，j链接上        else link[k] = i;//否则，i链接上        return head;//返回头指针 } template <class T> int rMergeSort(T a[], int link[], int low, int high, int& KCN) {        if (low >= high) return low;        int mid = (low + high)/2;        return ListMerge(a, link, rMergeSort(a, link, low, mid, KCN), rMergeSort(a, link, mid+1, high, KCN), KCN); } template <class T> void ListMergeSort(T a[], int N, int& KCN, int& RMN) {        KCN = 0; RMN = 0; int i, cur, pre;        int* link = new int[N];        for (i = 0; i < N; i++) link[i] = -1;        cur = rMergeSort(a, link, 0, N - 1, KCN);        for (i = 0; i < N; i++)//重排        {               while (cur < i) cur = link[cur];               pre = link[cur];               if (cur != i)               {                      swap(a[i], a[cur]); RMN += 3;                      link[cur] = link[i]; link[i] = cur;               }               cur = pre;        }        delete []link; } 这里的rMergeSort可以算是个间接递归的例子，注意递归是如何自动完成表头的创建与回收的——的确是个很精巧的实现，如果反过来用迭代来实现，将会很麻烦。 测试结果： Sort ascending  N=100000        TimeSpared: 50ms KCN=853904     KCN/N=8.53904    KCN/N^2=8.53904e-005KCN/NlogN=0.514101 RMN=0          RMN/N=0          RMN/N^2=0          RMN/NlogN=0 Sort randomness N=100000        TimeSpared: 350ms KCN=1509031    KCN/N=15.0903    KCN/N^2=0.000150903KCN/NlogN=0.908527 RMN=299973     RMN/N=2.99973    RMN/N^2=2.99973e-005RMN/NlogN=0.180602 Sort descending N=100000        TimeSpared: 70ms KCN=815024     KCN/N=8.15024    KCN/N^2=8.15024e-005KCN/NlogN=0.490693 RMN=150000     RMN/N=1.5        RMN/N^2=1.5e-005   RMN/NlogN=0.090309 少有的在正序和逆序都有上佳表现的排序方法，但就其平均性能来说，并不十分优秀

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